Galoisgruppe und dessen Zwischenkörper

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe und dessen Zwischenkörper
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei mir die Galoistheorie besser anzueignen und würde daher gerne eine Beispielaufgabe mit jemandem, der mich dabei unterstützt, durchgehen:

Sei der Zerfällungskörper von über . Zeigen Sie, dass eine Galoiserweiterung ist, und bestimmen Sie , alle Untergruppen von , sowie die entsprechenden Zwischenkörper der Erweiterung .

Los gehts:

hat Nullstellen, , , .


Es ist also

Der Grad ist

Also gibt es sechs verschiedene Automorphismen, die zusammen die Galoisgruppe bilden. Diese permutieren die Nullstellen des Polynoms .

Jede Untergruppe dieser Galoisgruppe entspricht nun einem Zwischenkörper.

Die Identität entspricht selber.

Wie geht man nun weiter vor?

Danke und Grüße
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galoisgruppe und dessen Zwischenkörper
Ich seh jetzt ehrlich gesagt nicht, wo genau dein Problem liegt... Mit der Bezeichnung



hat man doch die insgesamt 6 Elemente



welche eine Basis für die Körpererweiterung bilden... Die Galoisgruppe ist offensichtlich die symmetrische Gruppe , welche insgesamt 4 nichttriviale Untergruppen hat, welche genau den 4 nichttrivialen Zwischenkörpern der obigen Körpererweiterung entsprechen...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mystic,
danke für deinen Beitrag.
Ich versuche gerade die Korrespondanz zwischen den Untergruppen der Galoisgruppe und den dazugehörigen Körpererweiterungen zu ermitteln, also welche Untergruppe steht für welchen Zwischenkörper. Diese möchte ich genau benennen und die Elemente der entsprechenden Untergruppe ebenso.
Dazu existiert ja ein Isomorphismus und ich bin in dieser Herleitung noch nicht ganz so sicher.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder Automorphismus von L wird doch durch die Bilder von u und v bereits eindeutig beschrieben... Als Bilder von u kommen dabei nur Nullstellen des Minimalpolynoms von u in Frage und Gleiches gilt für v. Damit sollte es leicht sein, zunächst einmal die 6 Automorphismen der Autmormorphismengruppe Aut(L) von L aufzustellen (beschrieben nur durch ihre Einschränkungen auf {u,v} !), sowie alle Untergruppen von Aut(L)... Vielleicht solltest das einmal machen, bevor wir weitermachen...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine ich habs jetzt:

Wir betrachten erst die Erweiterungen sowie .

Dort sind Automorphismen z.B.

sowie

Diese sind auch Automorphismen von , weil diese ebenfalls durch die Bilder der Basis definiert werden.

, demnach bildet eine zyklische Untergruppe der Galoisgruppe der Ordnung 3. Diese ist insbesondere ein Normaleteiler, da .

zerfällt diesjunkt in

Damit haben wir alle Automorphismen identifziert.

Wir haben Untergruppen von Primzahlordnung.

Diese mit Ordnung 2 müssen und mit enthalten.Diese sind:

,



Demnach hab ich alle Untegruppen identiefiziert.

Die entsprechenden Zwischenkörper sind diese, die zu gewisse Elemente hinzu adjungiert sind, welche festgelhalten werden von den Automorphismen der jeweiligen Untergruppe.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Îch denke, du bist "auf dem richtigen Weg", aber machst immer und immer wieder einige ganz dumme Fehler, z.B. hat die Ordnung 2 und die Ordnung 3... Deine Untergruppe bestehet oben aus den 3 Elementen , weiter unten aber nur mehr aus id und , usw. usf.
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe in eigentlich anstelle gemeint. Genauso das was vor steht. Und ich sehe gerade meine Zerlegung enthält diesen Fehler ebenfalls...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Also noch einmal:


,

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Ordnung 3 hat und damit eine Untergruppe dieser Ordnung erzeugt, dann wohl auch automatisch , also ist dein ident mit ...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, meine Konzentration geht für heute Abend wohl eindeutig flöten... ich sollte es sein lassen, hab heute schon zu viel gemacht. Dennoch habe ich noch einige prinzipielle Fragen. Ist der Ansatz prinzipiell gut oder gibt es bessere. Ungemein komplizierter wird es ja für das Polyom über .

Hier habe ich 7 Nullstellen. Wenn ich hier den Zerfällungskörper betrachte ist L/K vom Grad 24, wenn ich mich nicht großartig Irre. Die Galoisgruppe kann aber nicht isomorph zu der symmetrische Gruppe sein, denn diese enthält wesentliche mehr Elemente.

Gibt es eine Bedingung, wann eine Galoisgruppe isomorph zu einer symmetrischen Gruppe ist?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Gibt es eine Bedingung, wann eine Galoisgruppe isomorph zu einer symmetrischen Gruppe ist?

Ich glaube nicht, dass man das so ohne weiteres "auf einen Blick" sehen kann... Hier würde ich allerdings vermuten, dass die Adjunktion von und bis dahin einmal die Kleinsche Vierergruppe ergibt, und durch die Adjunktion von dann nochmals die "dazukommt", vielleicht als semidirektes oder gar direktes Produkt mit der Kleinschen Vierergruppe...
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