Kurvenintegral der Differentialform berechnen

29.03.2012, 20:57	fizzy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral der Differentialform berechnen Meine Frage: Hallo ich habe eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiß,wie ich da anfangen soll. Berechne das Kurvenintegral der Differentialform 3xy² dx +6x²y dy über die folgenden Kurven von (0,0) nach (4,4) 1) von (0,0)nach (4,0) auf der x-Achse und von (4,0) nach (4,4) parallel zur y-Achse 2) geradlinige Verbindung Meine Ideen: Ich weiß, dass ich das dx und dy durch ersetzten und umformen zu dt machen muss. Außerdem brauche ich 2 Integrale C1 und C2 die ich am Ende addiere. Ich dachte da erst mal an 0<t<4 für C1 und dann wollte ich x² durch t substituieren. Aber was ist dann y und warum nehme ich gerade x²? ich komme da überhaupt nicht weiter.
30.03.2012, 11:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst solltest du mal ordentlich die Wege $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ aufschreiben. Zum Beispiel kannst du beim ersten zwei solche Wege nehmen und dann tatsächlich die Integrale addieren. Für den Weg entlang der x-Achse bekommst du dann zum Beispiel $\begin{eqnarray} \gamma_1: [0,4]\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} t\mapsto (?,?) \end{eqnarray}$ . Dann dasselbe für den zweiten Abschnitt $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ entlang der y-Achse. Dann schaust du in die Definition eines Kurvenintegrals für eine Differentialform $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ entlang eines Weges $\begin{eqnarray} \gamma: [a,b]\to\mathbb R^n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int\limits_{\gamma}\omega:=\int\limits_a^b\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\dd t \end{eqnarray}$ Überlege dir nun erstmal was diese Definition für einen Weg bedeutet, der gegeben ist durch die Koordinatendarstellung $\begin{eqnarray} \gamma(t)=(f_1(t),...,f_n(t)) \end{eqnarray}$ . Sprich was wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray} \gamma'(t) \end{eqnarray}$ ? Was wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray} (\dd x_1)_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) \end{eqnarray}$ ? Was wäre dann $\begin{eqnarray} (x_2^2\dd x_1)_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) \end{eqnarray}$ ? Was wäre dann $\begin{eqnarray} (3x_1x_2^2\dd x_1)_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) \end{eqnarray}$ ?
30.03.2012, 11:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Aufgabe mechanisch interpretieren: Du hast in der Ebene ein Kraftfeld $\begin{eqnarray} \vec F=\begin{pmatrix} 3xy^2 \\ 6x^2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben und sollst die mechanische Arbeitet W berechnen, die entlang des Weges $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ geleistet wird, also $\begin{eqnarray} W=\int \vec F\,\,\,d\vec x \end{eqnarray}$ . Ersetzt man darin das Wegelement $\begin{eqnarray} d\vec x \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}=\tfrac{d\vec x}{dt} \end{eqnarray}$ , hat man $\begin{eqnarray} d\vec x=\dot {\vec x}dt \end{eqnarray}$ , womit aus dem Wegintegral ein Zeitintegral $\begin{eqnarray} W=\int \vec F \cdot \dot {\vec x}\,\,\,dt \end{eqnarray}$ wird. Der Weg vom Punkt (0\|0) nach (4\|0) kann in Abhängigkeit von der Zeit parametrieisert werden als $\begin{eqnarray} \vec x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot t \end{eqnarray}$ , wobei das Zeitintervall $\begin{eqnarray} t\in[0;4] \end{eqnarray}$ durchlaufen wird. Analog wird der Weg vom Punkt (4\|0) nach (4\|4) im gleichen Zeitintervall parametrisiert als $\begin{eqnarray} \vec x_2=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot t \end{eqnarray}$ . Die Geschwindigkeiten auf beiden Geraden ergeben sich als Ableitungen der Wege nach der Zeit also $\begin{eqnarray} \dot{\vec x}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \dot{\vec x}_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zu berechnen sind also die Zeitintegrale entlang beider Teilwege, also $\begin{eqnarray} W=\int_{t=0}^{4}\underbrace{\begin{pmatrix} 3xy^2 \\ 6x^2y \end{pmatrix}}_{\text{Kraft}}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{Geschwindigkeit}}dt+\int_{t=0}^{4}\underbrace{\begin{pmatrix} 3xy^2 \\ 6x^2y \end{pmatrix}}_{\text{Kraft}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Geschwindigkeit}}dt \end{eqnarray}$ Ersetze darin x und y durch die beiden Komponenten aus den obigen parametrisierten Kurven, also in der 1.Teilkurve $\begin{eqnarray} x=t \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ und in der 2.Teilkurve $\begin{eqnarray} x=4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=t \end{eqnarray}$ . Dann wird aus dem Integral $\begin{eqnarray} W=\int_{t=0}^{4}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{Kraft}}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{Geschwindigkeit}}dt+\int_{t=0}^{4}\underbrace{\begin{pmatrix} 12t^2 \\ 96t \end{pmatrix}}_{\text{Kraft}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{Geschwindigkeit}}dt \end{eqnarray}$ Das 1.Integral verschwindet. Multipliziert man beim 2.Integral das Skalarprodukt im Integranden aus und erhält man $\begin{eqnarray} W=0+\int_{t=0}^{4} 96 t\,\,\,dt \end{eqnarray}$ Das solltest du berechnen können.

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