Lineare unabh. der Basis des Raumes der bivariaten Polynome

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toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare unabh. der Basis des Raumes der bivariaten Polynome
Meine Frage:
Hallo,
ich schaue mir gerade einen Beweis dazu an und verstehe dabei leider etwas grundlegendes nicht.
Also es geht um den Raum , der Dimension d, der die bivariaten Polynome
enthalten soll. Seine Monombasis soll sein.

Im Beweis steht:
Beachte, dass wenn , dass dann ist, mit Multiindizes .
Wie genau zeigt dies die lineare Unabhängigkeit?

Meine Ideen:
Ich nehme an, dass aus folgen soll das ist.
Aber wie kommt da die Ableitung ins Spiel?
Das ist, habe ich mir durch einfaches Nachrechnen veranschaulichen können.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare unabh. der Basis des Raumes der bivariaten Polynome

Ziemlich nebensächlich: .
Vermöge: und

Leitet man
zeilenweise nach Blöcken (Monomen gl. Grades) ab, ergibt sich eine obere Dreiecksmatrix(*) M der Grösse mit Diagonale .

Beim (partiell) Ableiten werden sich die neuen Zeilen nicht (von d auf 2d) verdoppeln (Satz von H.A.Schwarz), sondern nur um (d+1) erhöhen, sodaß auf jeder -Stufe ein neuer quad. Block in Dreiecksgestalt (*) erzeugt wird.

So entsteht

Die 3-Ecksgestalt von M ergibt die lin.Unabh.keit.
Die sollen die -Blöcke verdeutlichen.

*sry* ... ich habe keine gescheite Matrix in TeX darstellen können.

HTH
toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und Danke für die schnelle Antwort.
Ich denke du meinst
Hoffentlich verstehe ich das "zeilenweise" ableiten richtig. Sieht demnach die Matrix M so aus?



Aber selbst wenn das Aussehen der Matrix M hier jetzt nicht passt verstehe
ich nicht, wie ich aus der Darstellung der Ableitungen, als System mit einer Oberen
Dreiecksmatrix, folgern kann, dass die gewählte Basis linear Unabhängig ist.
Sorry, falls ich mich dumm anstelle. Hammer
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind genau die Koeffizienten der Monome, für die es lin.Unabh. zu bestimmen gilt (s. Matrixdarstellung). Die Regularität von sichert ergo, dass aus den Monomen nur eindeutig + trivial komb.bar ist.

Deine Matrix ist nicht ganz korrekt.
Entlang der Diagonalen stehen 1,1,2,1, usw. (i.b. Konstante ).
Über der Diagonalen stehen Mischterme der Form , weil sie durch ableiten noch nicht konst. bzw. = 0 sind.

Unter ... sind die Nullen korrekt. - Weil: Die Monomgrade wurden durch die Ableitungen *gefressen*.
toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »

Das aus der Regularität der Matrix folgt, dass der Kern trivial ist und somit alle sind verstehe ich nun. Wie genau aber über der Diagonalen Mischterme der Form stehen können ist mir nicht klar, denn im Beweisansatz (siehe ersten Beitrag) steht ja
0,0. Falls man aber wirklich nicht einsetzt, dann verstehe ich das diese Mischterme übrig bleiben. Demnach müsste doch die erste Zeile von nur aus bestehen, da man ja dort anwendet, oder?


Nun bin ich aber leider immer noch am überlegen, warum man einfach dieses "Ableitungs"-System
betrachten darf. Ist es weil:
In der ersten Zeile der Matrix das gesamte bivariate Polynom vom Grad d steht.
In der zweiten Zeile das selbe nur einen Grad weniger... usw. ...
Und somit "frage" ich in jeder Zeile nach einer möglichen Linearkombination der 0, aus Monomen bis zum Grade d und von .

Hoffentlich denke ich nicht in eine ganz falsche Richtung.
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