Wahrscheinlichkeitsmaß, Zeichenerklärung

30.03.2012, 18:20

Clematis

Wahrscheinlichkeitsmaß, Zeichenerklärung

Hallo!

Ich versuche grad mir ein paar Dinge selbst beizubringen und sitz grad an folgender Aufgabe: Zeige, dass P: B ([0,1]) --> [0,1]
A--> $\begin{eqnarray*} \int_A \! xe^x \, dx \end{eqnarray*}$
ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert.

Ich hab die Lösung dazu, den Anfang versteh ich noch, die Sigma Additivität aber garnicht. Kann mir das jemand vielleicht einfach erklären?

In meiner Lösung kommen auch ein paar Zeichen vor, die mir neu sind, hier aber auch nicht im Formeleditor sind. Was bedeutet z. B ein Pfeil nach schräg rechts oben?

Oder etwas das etwa so 1I ausschaut ( unten gehört noch ein Querstrich hin)? Sorry, aber ich find das auch nirgends sonst.

Vielen Dank schonmal,
Clematis

30.03.2012, 18:56

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zeichenerklärung

Zitat:

Original von Clematis

Ich hab die Lösung dazu, den Anfang versteh ich noch, die Sigma Additivität aber garnicht. Kann mir das jemand vielleicht einfach erklären?

Dann schreib uns die Lösung doch mal hin, wie sollen wir sie sonst erklären.

30.03.2012, 19:24

Clematis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab grad probiert die Lösung abzuschreiben, aber ich krieg das nicht so gut hin. Sie steht hier
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~zenk/ss11/

links: Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten anklicken

dann: Klausur am 2. August 2011 Lösungsvorschlag, Aufgabe 5a

Wenn ihr das anschaut, versteht ihr vielleicht mein Problem.

30.03.2012, 19:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal zur Klärung der Symbole:

Das eine Symbol soll eine doppelte Eins sein, dafür benutzt man auch gerne das Symbol $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ . Dabei handelt es sich um die charakteristische Funktion:

$\begin{eqnarray*} \chi_A\colon x\mapsto\begin{cases} 1, & \text{ falls }x\in A \\ 0, & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Pfeil, der schräg nach rechts oben zeigt, bezieht sich auf den Satz von der monotonen Konvergenz: Dort geht es um eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen, die fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion konvergiert.

Der Pfeil drückt das "monoton wachsend konvergierend" aus.

Edit: Was bezeichnet ihr mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}([0,1]) \end{eqnarray*}$ ? Die Borel-sigma-Algebra auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall?

30.03.2012, 20:33

Clematis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich dir leider nicht sagen. Mir ist das in dieser Klausur so zum ersten Mal begegnet. Aus der Vorlesung konnte ich eigentlich nicht viel mitnehmen und probiere mir nun quasi selbst die Basics anzueignen...
Aber manches wird langsam zumindest ein bißchen klarer...

30.03.2012, 21:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, okay.

Also der Satz von der monotonen Konvergenz, der hier die tragende Rolle spielt, besagt ja Folgendes:

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_de...onen_Konvergenz

Bei dieser Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1], \mathcal{A}=\mathcal{B}([0,1]) \end{eqnarray*}$ und P ist das Maß, für das Du nachweisen sollst, daß es ein W.-Maß ist.

Jetzt guckst Du Dir einfach mal

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{k\geq 1}A_k\right) \end{eqnarray*}$ an.

Das ist nach Definition von P:

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{k\geq 1}A_k\right)=\int_{\bigcup_{k\geq 1}A_k}xe^x\, dx \end{eqnarray*}$

Da es sich um Teilmengen des abgeschlossenen Einheitsintervalls handelt, kannst Du dieses Integral auch mit Hilfe der charakteristischen Funktion schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{\bigcup_{k\geq 1}A_k}xe^x\, dx=\int_{[0,1]}xe^x\chi_{\bigcup_{k\geq 1}A_k}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Der Integrand ist eine messbare Funktion (Wieso?).

Nun kann man sich überlegen, daß die Funktionenfolge

$\begin{eqnarray*} \left(xe^x\sum_{k=1}^{n}\chi_{A_k}(x)\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ fast überall monoton wachsend gegen $\begin{eqnarray*} xe^x\chi_{\bigcup_{k\geq 1}A_k}(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert und daß die Funktionen dieser Folge messbar und nichtnegativ sind.

Damit kann man den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden und bekommt für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ die gewünschte Identität

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{k\geq 1}A_k\right)=\sum_{k\geq 1}P(A_k) \end{eqnarray*}$ , also die sigma-Additivität von P.

Vielleicht noch ergänzend, weil Du das mit der charakteristischen Funktion noch nicht kanntest:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}P(A_k)=\int_{A_1}xe^x dx+\int_{A_2}xe^x dx+...+\int_{A_n}xe^x dx<br /> <br /> =\int_{[0,1]}xe^x\chi_{A_1}(x) dx+\int_{[0,1]}xe^x\chi_{A_2}(x) dx+...+\int_{[0,1]}xe^x\chi_{A_n}(x) dx=\int_{[0,1]}xe^x\sum_{k=1}^{n}\chi_{A_k}(x) dx \end{eqnarray*}$

30.03.2012, 21:33

Clematis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das ist super, vielen Dank! Ich bin jetzt leider gleich offline, aber ich werd mir das ausdrucken und mich spätestens morgen näher damit beschäftigen.

Danke schonmal für die Mühe!

LG,
Clematis

30.03.2012, 21:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das ja nur ein bisschen versucht zu erklären.

Die Nachweise, wieso es sich beispielsweise um messbare Funktionen handelt, habe ich dabei absichtlich ausgespart. Ich denke, das bekommt man relativ leicht hin.

31.03.2012, 00:59

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Da noch ungeklärt war, was genau mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}([0,1]) \end{eqnarray*}$ genau gemeint ist:

Dabei handelt es sich in der Tat um die Borel-sigma-Algebra auf [0,1].

Falls Dir unklar ist, was das ist:

Dabei handelt es sich um die kleinste sigma-Algebra die die offenen Mengen bezüglich [0,1] enthält, also die von diesen Mengen erzeugte sigma-Algebra.

Dabei sind die offenen Mengen bezüglich [0,1] die Schnitte aus den offenen Intervallen der reellen Zahlen mit [0,1] (Stichwort: Spurtopologie).

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeitsmaß, Zeichenerklärung

Verwandte Themen