reihen und konvergenzkriterien

Neue Frage »

Axelc Auf diesen Beitrag antworten »
reihen und konvergenzkriterien
Meine Frage:
Hallo liebes Forum!

Ich bin gerade dabei alle Themen, die wir dieses Semester bearbeitet haben zu wiederholen und hänge gerade bei dem Thema reihen fest..
ich war zu dieser Zeit im Krankenhaus und habe deshalb nicht allzu viel davon mitnehmen können..
hier einfach mal eine meiner Übungsaufgaben:





Meine Ideen:
Laut meiner Aufzeichnungen von einem anderen Studenten steht da, dass diese reihe konvergent ist, und man das Quotientenkriterium anwenden muss, was laut der Aufzeichnungen so aussieht:



{ wenn > 1 dann divergent
wenn = 1 keine Angabe
wenn < 1 dann konvergent

ich würde also ein beispiel nehmen für n=5 :





also wäre es divergent. wenn man aber größere werte einsetzt wie n=60, wäre es konvergent.
[1] wie gehe ich also bei so einer Aufgabe ohne Taschenrechner vor? ich kann ja nicht 2^60 im Kopf rechnen. außerdem gibt es ja wie oben bei n=5 auch unpassende beispiele die zu einem falschen Ergebnis führen. reicht es zu sagen, dass der nenner stärker(exponential) stärker ansteigt als der zähler(quadratisch)?


[2]wäre es evtl möglich wenn mir jemand die Kriterien auf ganz einfache weise erklären könnte? evtl mit nem simplen beispiel, das würde mir schon mal viel bringen. also das Quotioentenkriterium verstehe ich wie oben aufgeführt. bei dem Majorantenkriterium versucht man glaube ich eine größere bekannte reihe die konvergiert zu finden und kann dann auf die kleinere, unbekannte reihe schließen, dass diese auch konvergieren muss. umgekehrt für das Minorantenkriterium. Unter dem Trivial- und Leibnitzkriterium kann ich mir überhaupt nichts vorstellen und bei dem Wurzelkriterium bin ich mir unsicher. habe gelesen dass man es auf diese aufgabe: anwenden soll..? ich weiss aber nicht wie , da gillt:
{ wenn > 1 dann divergent
wenn = 1 keine Angabe
wenn < 1 dann konvergent


[3] eine grundlegende Sache noch, ich kann mich einfach nicht 100% davon überzeugen dass zb: konvergent sein soll.. ich meine, wie kann diese reihe jemals einen maximalen wert erreichen, wenn UNENDLICH OFT etwas dazukommt, das >0 ist? das kann ich irgendwie nicht mit meinem verstand vereinbaren. kann mir einer erklären warum es aber doch so ist, dass diese reihe konvergiert?


Ich hoffe mir kann jemand Helfen!

Vielen Dank schonmal im voraus!
sirun Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube du hast beim QK was falsch gemacht..
schreib doch nochmal an+1 / an auf.. denk daran dass a.n+1 bedeutet dass du beim Zähler und beim Nenner n durch n+1 ersetzt..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Erst einmal solltest du dir das Quotientenkriterium noch einmal ansehen. Davon gibt es zwei Formulierungen:

1. Es gibt ein a<1 mit für fast alle n

oder (was mir besser gefällt):

2. (allgemeiner mit limsup)

In beiden Fällen kann man absolute Konvergenz für die Reihe folgern.
Ist der Grenzwert größer als 1, ist die Reihe divergent, bei Gleichheit kann man (ohne andere Kriterien) keine Aussage treffen.

Zu [1]:
Einzelne Werte sind vollkommen egal. Außerdem hast du bei deiner Rechnung nur berechnet...
Schreibe lieber mal auf und bestimme den Grenzwert.

Zu [2]:
Ich schreibe dir gleich mal eine Zusammenfassung mit Beispielen... (kommt später)

Zu [3]:
Denk dir eine begrenzte Fläche, z.B. ein Quadrat. Dass das eine endliche Fläche hat, muss ich wohl nicht verdeutlichen, oder?
Jetzt fülle die Hälfte des Quadrats aus (bzw. male sie aus o.ä.). Das ist dein erster Summand, also 1/2. Jetzt malst du die Hälfte des Restes aus (du verbreiterst also den Streifen); der zweite Summand ist 1/4 etc.
Und hier sollte klar sein, dass du niemals über das Quadrat hinausmalen wirst, die Summe ist also endlich. Das liegt daran, dass die einzelnen Summanden so stark gegen 0 gehen, dass sie irgendwann "kaum noch auffallen".

Oder: Nimm dir eine konvergente Folge .
Jetzt definierst du dir und für n>1.
Dann ist offenbar und die Reihe konvergiert gegen denselben Grenzwert, den auch die Folge besitzt.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Um das Beipiel von Che Netzer aufzugreifen:
Zu Punkt [3] stell Dir doch mal anschaulich folgendes vor:
Du hast 1 Blatt Papier mit der Fläche 1. Dies zerschneidest Du in 2 Hälften, eine Hälfte legst Du beiseite.
Du hast jetzt: 1/2 + 1/2
Die andere Hälfte schneidest Du in 2 Hälften.
Du hast jetzt: 1/2 + 2 * 1/4
Ein Viertel legst Du beiseite, das andere Viertel schneidest Du wieder in 2 Hälften:
Du hast jetzt: 1/2 + 1/4 + 2 * 1/8
Ein Achtel legst Du beiseite, das andere Achtel schneidest Du in 2 Hälften usw. usw.
Könntest Du das unendlich oft durchführen, entspräche das Ergebnis der Reihe

Alle Teile zusammengesetzt ergäben aber wieder ein Blatt Papier mit der Fläche 1.
Nun sind die Summanden dieser Reihe aber, wie man durch Einsetzen leicht erkennen kann, immer kleiner als bei der von Dir als Beispiel genannten Reihe, also ist es einleuchtend, dass Deine Reihe erst recht konvergent sein muß.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
So, jetzt zu den Kriterien:

(Es sei immer die Reihe über , also betrachtet)

Trivialkriterium:
Das entspricht etwa deinem Zweifel. Wenn wir unendlich oft etwas aufsummieren, was nicht 0 ist und auch nicht Null als Grenzwert hat, kann dabei nichts endliches herauskommen:

Ist keine Nullfolge, divergiert die zugehörige Reihe.

Beispiel: . Das dürfte nun wirklich dem Begriff Trivialkriterium entsprechen.

Minorantenkriterium:

Wenn eine unendliche Summe keinen endlichen Grenzwert besitzt und wir eine zweite Summe, deren Summanden jeweils noch größer sind, kann diese Summe erst recht nicht konvergieren.

Gilt also für eine zweite Folge , dass für fast alle n und divergiert die Reihe über , dann divergiert auch die Reihe über die .

Beispiel: Da die Reihe über divergiert, tut das auch die Reihe über .

Majorantenkriterium:

Analog zum obigen:

Gilt und konvergiert die Reihe über , dann konvergiert auch die Reihe über .

Beispiel: Die Reihe über konvergiert bekanntlich (Teleskopreihe), also auch die über (nach Indexverschiebung).

Leibniz-Kriterium:

Wenn wir bei der Summe abwechseln etwas addieren und dann wieder etwas subtrahieren, landen wir (bei unten genannter Bedingung) auch bei einem endlichen Grenzwert:

Ist die Folge alternierend (d.h. es gibt abwechselnd nichtpositive und nichtnegative Glieder bzw. für alle n) und bilden die Beträge eine monotone Nullfolge (d.h. und ), dann ist die zugehörige Reihe konvergent.

Beispiel: konvergiert, da monoton gegen 0 geht und die Folge alternierend ist.

Quotientenkriterium:

Wenn die Folge gegen 0 geht, muss das bekanntlich noch lange nicht die Konvergenz der Reihe bedeuten. Wenn die Folge aber SO schnell gegen Null geht, dass einen Grenzwert hat, der kleiner als 1 ist, dann ist die Reihe doch konvergent (sogar absolut):

Sei . Ist a>1, divergiert die Reihe (die Folge geht zu langsam gegen 0). Ist a<1, konvergiert die Reihe (absolut).

Beispiel: . Dann ist , also konvergiert die Reihe.

Wurzelkriterium:

Analog zum Quotientenkriterium:

Sei . Ist a>1, divergiert die Reihe (die Folge geht zu langsam gegen 0). Ist a<1, konvergiert die Reihe (absolut).

Beispiel: . Dann ist , also konvergiert die Reihe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Zitat:
Original von klauss
Nun sind die Summanden dieser Reihe aber, wie man durch Einsetzen leicht erkennen kann, immer kleiner als bei der von Dir als Beispiel genannten Reihe, also ist es einleuchtend, dass Deine Reihe erst recht konvergent sein muß.

So herum funktioniert das aber nicht.
Immerhin wäre auch immer kleiner als Augenzwinkern
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
@Che Netzer: Es ist zwar sehr nett, wenn du dir soviel Mühe machst.

Allerdings hätte man in diesem Fall auch einfach auf Ioreks Workshop verlinken können, da werden alle Kriterien aufgegriffen und auch jeweils Beispiele gerechnet.

Das sei dem Fragesteller sowieso nahegelegt, denn dort wird das Thema noch etwas ausführlicher behandelt und auch noch weitere Kriterien werden dort abgedeckt. Das Thema Reihen ist ja doch recht umfangreich.

Definitionen, da bin ich sowieso der Auffassung, dass man die auch selber nachschlagen kann, gerade im Hochschulbereich. Begleitende Beispielrechnungen sind dann natürlich eine willkommene Ergänzung, die man hier im Board geben kann (obwohl man auch da im Netz unendlich viele Beispiele finden kann).
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Zitat:
So herum funktioniert das aber nicht.
Immerhin wäre auch immer kleiner als Augenzwinkern


Hast recht, in dem Fall bin ich auf die Schnelle selbst einer Verwechslung aufgesessen.
Axelc Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Erst einmal vielen Dank für die vielen Antworten!

Zitat:
Original von Che Netzer
Zu [3]:
Denk dir eine begrenzte Fläche, z.B. ein Quadrat. Dass das eine endliche Fläche hat, muss ich wohl nicht verdeutlichen, oder?
Jetzt fülle die Hälfte des Quadrats aus (bzw. male sie aus o.ä.). Das ist dein erster Summand, also 1/2. Jetzt malst du die Hälfte des Restes aus (du verbreiterst also den Streifen); der zweite Summand ist 1/4 etc.
Und hier sollte klar sein, dass du niemals über das Quadrat hinausmalen wirst, die Summe ist also endlich. Das liegt daran, dass die einzelnen Summanden so stark gegen 0 gehen, dass sie irgendwann "kaum noch auffallen".


stimmt, wenn man es so betrachtet gibt es einen endlichen wert, das quadrat wird nie voll ausgefüllt sein, danke! :-)

auch an klauss, danke! Habe es auch verstanden!

---

Zitat:
Original von Che Netzer

Trivialkriterium:
Das entspricht etwa deinem Zweifel. Wenn wir unendlich oft etwas aufsummieren, was nicht 0 ist und auch nicht Null als Grenzwert hat, kann dabei nichts endliches herauskommen:

Ist keine Nullfolge, divergiert die zugehörige Reihe.

Beispiel: . Das dürfte nun wirklich dem Begriff Trivialkriterium entsprechen.


Also bedeutet das Trivialkriterium nur, dass zb. :


weil es keine nullfolge ist, divergent ist?.

Zitat:
Original von Che Netzer
Leibniz-Kriterium:

Wenn wir bei der Summe abwechseln etwas addieren und dann wieder etwas subtrahieren, landen wir (bei unten genannter Bedingung) auch bei einem endlichen Grenzwert:

Ist die Folge alternierend (d.h. es gibt abwechselnd nichtpositive und nichtnegative Glieder bzw. für alle n) und bilden die Beträge eine monotone Nullfolge (d.h. und ), dann ist die zugehörige Reihe konvergent.

Beispiel: konvergiert, da monoton gegen 0 geht und die Folge alternierend ist.


achso, also wenn man die reihe von (-1)^2 weiterführen würde, wäre das: (-1)+1-1+1-1+... =0 .

Zitat:
Original von Che Netzer

Majorantenkriterium:

Analog zum obigen:

Gilt und konvergiert die Reihe über , dann konvergiert auch die Reihe über .

Beispiel: Die Reihe über konvergiert bekanntlich (Teleskopreihe), also auch die über (nach Indexverschiebung).


hierzu habe ich noch eine frage. die "teleskopreihe" ist doch kleiner(weil der nenner größer ist). wie kann man daraus schliessen dass die größere reihe( 1/n²) auch konvergent ist? oder bringe ich gerade etwas durcheinander..?


--
Ansonsten habe ich es soweit nachvollziehen können, nochmal vielen Dank für die riesen Mühe, die du dir gemacht hast! :-)


Zitat:
Original von Mulder
@Che Netzer: Es ist zwar sehr nett, wenn du dir soviel Mühe machst.

Allerdings hätte man in diesem Fall auch einfach auf Ioreks Workshop verlinken können, da werden alle Kriterien aufgegriffen und auch jeweils Beispiele gerechnet.

Das sei dem Fragesteller sowieso nahegelegt, denn dort wird das Thema noch etwas ausführlicher behandelt und auch noch weitere Kriterien werden dort abgedeckt. Das Thema Reihen ist ja doch recht umfangreich.

Definitionen, da bin ich sowieso der Auffassung, dass man die auch selber nachschlagen kann, gerade im Hochschulbereich. Begleitende Beispielrechnungen sind dann natürlich eine willkommene Ergänzung, die man hier im Board geben kann (obwohl man auch da im Netz unendlich viele Beispiele finden kann).


Erstmal danke für den Tipp mit dem Workshop!

Du hast vollkommen recht, nach Definitionen muss man nicht extra nachfragen. Darum ging es mir auch nicht. Ich war - wie oben erwähnt - auf der Suche nach einer Erklärung,wie man diese Kriterien anwendet, sowie einem Zahlenbeispiel, da mir die rohen Definitionen nicht weitergeholfen haben.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reihen und konvergenzkriterien
Zitat:
Original von Axelc

Also bedeutet das Trivialkriterium nur, dass zb. :


weil es keine nullfolge ist, divergent ist?.

Ja. Das klappt aber auch bei nicht ganz trivialen nicht-Nullfolgen, z.B.


Zitat:


achso, also wenn man die reihe von (-1)^2 weiterführen würde, wäre das: (-1)+1-1+1-1+... =0 .

Nein. Die Folge ist dann doch keine Nullfolge.
Hier die Bedingungen für das Leibniz-Kriterium nochmal sauber aufgelistet:
- Die Folge der Beträge ist
- - monoton
- - eine Nullfolge
- Die Folge der Summanden ist alternierend.

Zitat:

hierzu habe ich noch eine frage. die "teleskopreihe" ist doch kleiner(weil der nenner größer ist). wie kann man daraus schliessen dass die größere reihe( 1/n²) auch konvergent ist? oder bringe ich gerade etwas durcheinander..?

Ich gebe zu, da habe ich einen Schritt ausgelassen.
Also:
konvergiert. Da , konvergiert auch .

Zitat:
Original von Axelc
achso, also wenn man die reihe von (-1)^2 weiterführen würde, wäre das: (-1)+1-1+1-1+... =0 .

Hierzu noch eine kleine Anekdote:
Ich bin mir nicht sicher, ob es Leibniz war, aber ein Mathematiker hat einmal versucht, den Grenzwert dieser Reihe zu bestimmen. (bei 1 anfangend)
Das Vorgehen:
Wenn man jeweils zwei Glieder summiert:
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...,
landet man bei 0.
Wenn man nun das erste Glied stehen lässt und danach jeweils zwei summiert:
1 -1+1 -1+1 -1+1 ...,
dann erhält man 1 als Grenzwert.
Also ist der Grenzwert dieser Reihe der Durchschnitt: smile

(wurde mir zumindest so erzählt)

Edit: Bitte produziere keine Doppelposts sondern nutze die Editierfunktion. Posts wurden zusammengeführt. LG Iorek
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »