Gauss-Approximation vs. Tschebyschew-Approximation |
| 30.03.2012, 21:06 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gauss-Approximation vs. Tschebyschew-Approximation Guten Tag! Wir wissen, dass bei Gauss-Approximation starke Oszillationen an den Intervallenden entstehen können. Dies wird behoben in dem man das gewichtete Skalarprodukt und Tschebyschew-Polynome als ONB anstatt Legendre-Polynome als ONB und ungewichtete Skalarprodukt nimmt. Meine Frage : Was unterscheidet denn Gauss-Approximation via Tschebyschew-Polynome von der Tschebyschew-Approximation, was die Approximation einer Funktion angeht? Ist die Tschebyschew-Appr. besser? Was ist die Motivation für die Tschebyschew-Approximation im Vergleich mit Gauss (via Tschebyschew-ONB)? Danke im voraus! Meine Ideen: die Approximationen erfolgen durch verschiedene Normen : bei Gauss : Halbnorm bei Tschebyschew : Maximumsnorm Ist es der Grund, weshalb Tschebyschew besser approximiert? bzw. gleichmässiger? |
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| 30.03.2012, 21:31 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gauss-Approximation vs. Tschebyschew-Approximation Das Wort "besser" ist hier nicht eindeutig, du musst schon die Norm festlegen, mit der du diesen Fehler bemisst. Das ist im Prinzip der Grundgedanke der Approximation: Den Fehler bezüglich einer gegebenen Norm zu minimieren. Ich glaube, du verwechselst hier gerade zwei Verfahren: einmal die Gauß-Approximation mit Tschebyschow-Polynomen und einmal die Tschebyschow-Approximation. Die Gauß-Approximation mit Tschebyschow-Polynomen hat erstmal nichts mit der Tschebyschow-Approximation selbst zu tun. Die Gauß-Approximation baut darauf auf, dass die Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Hier approximierst du dann bezüglich orthogonaler (bezüglich des gegebenen Skalarproduktes) Polynome (Legendre-Polynome, Tschebyschow-Polynome etc) Siehe auch [WS] Orthogonale Polynome Bei der Tschebyschow-Approximation approximierst du bezüglich der Maximums-Norm, diese wird durch kein Skalarprodukt erzeugt, also kann die Gauß-Approximation nicht verwendet werden. Mach dir erstmal klar, bezüglich welcher Norm du approximieren willst. |
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| 30.03.2012, 22:34 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, danke für die schnelle Antwort! Mir ist klar, dass es verschiedene Verfahren sind, mit jeweils verschiedenen Normen. Laut unserem Script hab ich die Einführung der Tschebyschew-Appr. so interpretiert, dass es ein besseres Approximation-Verfahren als Gauss ist, da die Tschebyschew-Approximation eine gleichmässigere Approximation anbietet im Gegensatz zu Gauss, das starke Approximationsfehler, besonders an Intervallenden haben kann. Aber nun verstehe ich, dass die Frage an sich wenig Sinn hat, da die Qualität der Approximation durch eine Norm geben wird uns es ist sinnlos beide Normen (und entsprechend jeweilige Verfahren) miteinander zu vergleichen. |
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| 31.03.2012, 11:04 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 31.03.2012, 19:01 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schön für deine Hilfe! |
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