Kosinus von Arkustangens

31.03.2012, 10:02

chrissan

Kosinus von Arkustangens

Hallo,
ich bräuchte mal Hilfe, wie ich so tolle ausdrücke wie

$\begin{eqnarray*} \cos^2{ \left( \frac{ \arctan{ \left( \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ b^3}{27} - \frac{c^2}{4}}}{c} \right) }}{3} \right)} \end{eqnarray*}$

vereinfachen/lösen kann.
LG und Danke im Voraus...

31.03.2012, 11:10

schultz

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zu lösen gibts da nix, da du keine gleichung sondern nur einen Term gegeben hast...
beim vereinfachen helfen dir oft additionstheoreme, hier sehe ich aber auch grade auf die schnelle keine vereinfachung

31.03.2012, 11:25

chrissan

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naja; zu "lösen" ist im Grunde

$\begin{eqnarray*} V(b,c)=3 \cdot \left( \frac{b}{3} \cdot 4 \cdot \cos^2{ \left( \frac{ \arctan{ \left( \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ b^3}{27} - \frac{c^2}{4}}}{c} \right) }}{3} \right)} \right) -b \end{eqnarray*}$

und ich will wissen, ob das kleiner oder größer 0 ist, was vermutlich schwer zu sagen ist, ohne b und c (für diese Parameter habe ich zwar auch ausdrücke, allerdings sind die auch sehr allgemein und ebenfalls furchtbar kompliziert). Das einzige, was sonst noch an Informationen vorhanden ist: Die Diskriminante ist positiv.

31.03.2012, 11:31

chrissan

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Kann es ansonsten was bringen, das in irgendeine Reihe zu entwickeln?

31.03.2012, 11:37

Che Netzer

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Man könnte man b ausklammern, links die 3 kürzen (warum hast du das noch nicht getan?) und so 4*cos²(...) - 1 erhalten.
Das Argument des Cosinus liegt zwischen -pi/6 und pi/6 (Arcustangens durch drei).
Der Cosinus von pi/6 zum Quadrat ist 3/4, also ist 4*cos²(...)-1 positiv.
Außerdem muss b positiv sein, da sonst ein negativer Term unter der Wurzel stünde (bei reellem c).

Zusammenfassend:
V(b,c) = b * (4cos²(...) - 1) und beide Faktoren sind positiv.

mfg,
Ché Netzer

31.03.2012, 12:02

chrissan

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Zitat:

Das Argument des Cosinus liegt zwischen -pi/6 und pi/6 (Arcustangens durch zwei).

Okay, das hilft wohl weiter. Und die "zwei" soll vermutlich eine drei sein.

Ist ja auch logisch, weil cos² bei reellen Werten logischerweise immer positiv ist.
Allerdings müsste der wert dann doch auch positiv sein, wenn ich zum Argument des arctan $\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray*}$ addiere. Das wäre aber exakt das Gegenteil von dem, was ich erwarte unglücklich

Edit: Und selbst im nicht-reellen Fall, wäre es doch positiv, oder? weil ja auch $\begin{eqnarray*} \cos^2{i \cdot x}=\cosh^2{x}>0 \end{eqnarray*}$
Richtig?

31.03.2012, 12:10

Che Netzer

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Ja, das mit der drei habe ich schon korrigiert.
Aber das Quadrat allein reicht noch nicht. Der Cosinus könnte ja auch Null sein, dann wäre der gesamte Term negativ. Wichtig ist, dass 4cos²(...)-1 positiv ist, also dass der Cosinus größer als 1/2 ist
Und ja, was du in den Arcustangens einsetzt, dürfte keine Rolle spielen...

Ansonsten hätte ich noch folgende Abschätzungen anzubieten:
Da wie gesagt cos²(...)>3/4, folgt $\begin{eqnarray*} V(b,c)=b\cdot(4\cos^2(\dots)-1)>2b>6\sqrt[3]{\frac{c^2}4}=\sqrt[3]{54c^2} \end{eqnarray*}$ (für alle b,c)

Aber negativ dürfte das nicht werden...

31.03.2012, 12:15

Che Netzer

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Im nicht-reellen Fall macht eine Vorzeichenbetrachtung nur dann Sinn, wenn b immer noch reell ist. Also müsste c komplex sein. Aber auch dann dürfte man tatsächlich nicht unter 0 gelangen...

Vielleicht kannst du ja beim Arcustangens einfach einen anderen Winkel betrachten?
Immerhin ist der Tangens ja periodisch.

31.03.2012, 12:36

chrissan

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Also es muss schon alles reell sein, sonst macht das ganze System keinen Sinn mehr.
Aber ich habe auch gerade einen Fehler gesehen:

Das $\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot \pi}{3} \end{eqnarray*}$ wird nicht zum Argument des arctan addiert, sondern zum Argument des cos. Also heißt das ganze:

$\begin{eqnarray*} \cos^2{ \left( \frac{ \arctan{ \left( \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ b^3}{27} - \frac{c^2}{4}}}{c} \right) + 2 \cdot \pi}}{3} \right)} \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch wegen $\begin{eqnarray*} \cos^2{\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2 \cdot \pi}{3} \right)} = cos^2{\frac{5\cdot \pi}{6}}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
auch wieder positiv?!?!? Hammer

Also ich merk schon, das heute nicht mein Tag ist, aber das von 3 Extrempunkten einer stetigen Funktion, nicht alle 3 Minima sein können, das weiß ich noch.

Vermutlich ist $\begin{eqnarray*} \cos^2{\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2 \cdot \pi}{3} \right)} \end{eqnarray*}$ der Fehler, oder? Darf ich das Argument dort nicht in dieser Form splitten?

31.03.2012, 12:44

Che Netzer

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Zwsichen $\begin{eqnarray*} \frac\pi6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi}6 \end{eqnarray*}$ gibt es aber Bereiche, in denen der Term nicht mehr positiv wird. Reicht das?

31.03.2012, 12:47

chrissan

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Seh ich jetzt auch.
Danke...Ich weiß noch nicht, ob es damit perfekt ist, aber zumindest ist die Lösung somit möglich.

Edit: Aber das Intervall ist von 1/2*pi bis 5/6*pi, nicht von 1/6*pi, oder?
Es reicht aber trotzdem.

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