rechtwinkeliges Dreieck mit ganzen Zahlen?

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Daxter1234 Auf diesen Beitrag antworten »
rechtwinkeliges Dreieck mit ganzen Zahlen?
Frage:

Gibt es ein rechtwinkliges Dreieick in dem die Maßzahlen aller 3 Seite eine gerade ganze Zahl sind? Begründen Sie ihre Aussage.

Antwort,

ja gibt es aufgrund des Satz des Pythagoras.

Wenn man z.b. die maße a=3 b=4 c=5 nimmt ergibt dies:

3²+4²=5²

9+16=25

nur kann ich meine aussage nicht begründen, hat jemand eine idee?
MrBlum1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rechtwinkeliges Dreieck mit ganzen Zahlen?
Das sind nicht alles gerade Zahlen, oder?

Überlegung:

Was ergibt jede natürliche Zahl mal zwei?
 
 
Daxter1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt hast recht Hammer

jede natürliche zahl mal 2 genommen ergibt eine gerade zahl.

aber trotzdem weiß ich nicht weiter?


2²+4²=6²
4+16=36

das stimmt doch nicht?
MrBlum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Nimm deine Zahlen von vorhin und versuche:

2a²+2b²=2c²
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrBlum1
Nein. Nimm deine Zahlen von vorhin und versuche:

2a²+2b²=2c²


klammern verwirrt
MrBlum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
[quote]Original von MrBlum1


klammern verwirrt


Ja, stimmt.

(2a)²+(2b)²=(2c)²
MrBlum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch eine Veranschaulichung.

LG Wink
Daxter1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, mithilfe dieser gleichung erhalte ich bei jeder geraden zahl (a,b) eine gerade zahl c

aber warum? wie kann ich das begründen? verwirrt
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde ist deine Rechnung schon die Begründung. Sonst würde da zumindest mir nichts großartiges zu einfallen, außer vllt, dass beide Seiten mit 4 multiplizieren eine äquivalente Umformung ist.

Gesucht ist ja nicht die Begründung, warum es so etwas gibt, sondern lediglich:
Ist es möglich? -> JA.
Begründung? -> Für die Zahlen 6, 8, 10 ist es so. Damit ist bewiesen, dass es solche Zahlentripel gibt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrBlum1
Zitat:
Original von riwe
[quote]Original von MrBlum1


klammern verwirrt


Ja, stimmt.

(2a)²+(2b)²=(2c)²


"variante"

betrachte die pythagoräischen tripel a,b und c
sowie den tipp von MrBlum1, der hier steht
MrBlum1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rechtwinkeliges Dreieck mit ganzen Zahlen?
Zitat:
Original von Daxter1234
Frage:

Gibt es ein rechtwinkliges Dreieick in dem die Maßzahlen aller 3 Seite eine gerade ganze Zahl sind? Begründen Sie ihre Aussage.

Antwort,

ja gibt es aufgrund des Satz des Pythagoras.

Wenn man z.b. die maße a=3 b=4 c=5 nimmt ergibt dies:

3²+4²=5²


Um zu deiner eigentlichen Frage zurückzukommen:

Du hast ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten genannt (Pythagoräisches Tripel, siehe Wiki etc.), dessen Seiten aber nicht alle gerade waren.
Die Ähnlichkeit des rechtwinkeligen Dreiecks mit verdoppelten Seitenlängen (ich hatte vorher die Klammern verschlampt), geht auf den Strahlensatz zurück.
Du kannst also aus jedem rechtwinkeligen Dreieck, das beliebige ganzzahlige Seitenlängen hat, ein ähnliches mit verdoppelten Seiten basteln (Seitenverhältnisse bleiben gleich), das somit geradzahlige Seitenlängen hat. Natürlich kannst du dann auch beliebig mit anderen geraden Zahlen multiplizieren. Der gleiche Faktor muss halt auf jede Seite des Dreiecks angewandt werden.

Oder einfach: Jedes beliebige rw. Dreieck mit ganzzahlige Seiten ....

a²+b²=c²

wird zu einem rechtwinkeligen Dreieck mit geraden ganzzahligen Seitenlängen, wenn

(2a)²+(2b)²=(2c)²

man alle Seiten verdoppelt.
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