Folgenkriterium (Beispiel)

31.03.2012, 15:59

Salatgurke

Folgenkriterium (Beispiel)

Meine Frage:
Hallo,
ich verstehe das Folgenkriterium nicht so wirklich. Vllt kann mir das hier einer an einem einfachen Beispiel erklären.

Vllt einfach mal $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R , f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Dann einfach einmal zeigen, dass f in 0 unstetig ist und das f in 1 stetig ist.

Meine Ideen:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb D \Rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb D \end{eqnarray*}$ , wenn für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ mit Elementen $\begin{eqnarray*} x_{k} \in \mathbb D \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergiert, auch $\begin{eqnarray*} f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Also Stetigkeit in 0:
Also ist $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss jetzt $\begin{eqnarray*} (x_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren. Dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ .
1.Nun was für eine Folge ist $\begin{eqnarray*} (x_{k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ ?
2.Wie zeigt man, dass sie hier gegen 0 konvergiert.
3.Wie soll man das dann noch mit $\begin{eqnarray*} f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ zeigen?

Und dann müsste ich das ja für 1 selber hinkriegen, wenn ich einmal gesehen hab wie es funktioniert.
Schon einmal danke für alle die mir helfen smile

31.03.2012, 16:15

Che Netzer

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RE: Folgenkriterium (Beispiel)
Bei der Funktion ist f(0) ja gar nicht definiert, dort kann man also keine Stetigkeit nachweisen.

Ansonsten das Vorgehen:
Wenn eine Funktion stetig ist, kann man sich eine beliebige Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wählen und weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn du also zeigen kannst, dass diese Gleichheit für alle Folgen gilt, hast du die Stetigkeit gezeigt (meist schwerer).
Wenn du eine Folge findest, für die das nicht gilt, hast du die Unstetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Als Beispiel nehme ich mal folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}\frac x{\vert x\vert}&, x\neq0\\1&, x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist die Unstetigkeit an der Stelle 0.
Wähle die Folge $\begin{eqnarray*} x_n=-\frac1n\to0,n\to\infty \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_n)=\frac{-\frac1n}{\frac1n}=-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}-1=-1\neq1=f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)=f(0) \end{eqnarray*}$

Die Stetigkeit ist aber im allgemeinen schwieriger zu zeigen; hier muss man den Grenzwert ja für ALLE (passenden) Folgen bestimmen und nicht nur ein Gegenbeispiel finden.

mfg,
Ché Netzer

31.03.2012, 16:26

Salatgurke

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Danke für deine Antwort smile

Zitat:

Wenn du also zeigen kannst, dass diese Gleichheit für alle Folgen gilt, hast du die Stetigkeit gezeigt (meist schwerer).

Also das heißt, dass man jetzt alle Folgen überprüfen muss die gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergieren ? Aber das sind doch unendlich viele(oder irre ich mich da?).

Zitat:

Wähle die Folge $\begin{eqnarray*} x_n=-\frac1n\to0,n\to\infty \end{eqnarray*}$

ok, aber da muss man doch meist lange suchen bis man eine Funktion findet, die zeigt, dass die Funktion in 0 unstetig ist, ich meine mit $\begin{eqnarray*} x_n=\frac1n\to0,n\to\infty \end{eqnarray*}$ würde die Gleichung ja aufgehen. Oder gibt es da einen Trick, wie man schnell so eine findet?

31.03.2012, 16:30

Che Netzer

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Wenn man die Stetigkeit zeigen will, muss man den Beweis unabhängig von der konkreten Folge führen, ja. Also "Sei ... eine beliebige Folge etc."

Und welche Folge man für den Gegenbeweis verwendet, muss man im Prinzip erraten.

31.03.2012, 16:34

Salatgurke

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Ok das mit der Unstetigkeit habe ich verstanden.

Doch ich weiß nicht so wirklich, wie man die Stetigkeit unabhängig von einer konkreten Folge zeigen soll?

Hast du da vllt ein einfaches Beispiel, an dem man sieht was zu tun ist, dann kann ich mir das wohl auf andere Aufgaben übertragen.

31.03.2012, 16:42

Che Netzer

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Ein ganz triviales Beispiel:
Stetigkeit einer konstanten Funktion f, d.h. f(x)=c.
Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}c=c=f(x)=f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n) \end{eqnarray*}$ .

31.03.2012, 17:07

Salatgurke

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ok viele dank für deine Hilfe smile

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