gleichmäßige Stetigkeit

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31.03.2012, 16:53	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige Stetigkeit Meine Frage: Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen gleichmäßig stetig sind: $\begin{eqnarray} <br /> a) f_1: [-10,3], f1(x)= e^{2\sin(x) } \cdot \cos(x^2)<br /> b)f_2: [2, \infty), f_2(x) = 64x^{-8}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) $\begin{eqnarray} <br /> Sei \epsilon>0, setze \delta := \end{eqnarray}$ ? Für $\begin{eqnarray} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} <br /> \|f(x)-f(y)\|= \|e^{2\sin(x) } \cdot \cos(x^2) - e^{2\sin(y) } \cdot \cos(y^2)\| <br /> \end{eqnarray}$ falls es bis dahin überhaupt richtig ist, wie mache ich dann weiter?????
31.03.2012, 17:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit Zu a: Dein Definitionsbereich ist ein abgeschlossenes Intervall. Zu b: Ist eine beschränkte Ableitung nicht auch hinreichend für gleichmäßige Stetigkeit? mfg, Ché Netzer
31.03.2012, 17:04	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit ist mein ansatz denn überhaupt richtig?
31.03.2012, 17:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit Ja, wenn du die Definition direkt anwenden möchtest. Aber das ist insbesondere bei a viel zu umständlich...
31.03.2012, 17:06	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit wie kann ich es denn einfacher machen?
31.03.2012, 17:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit 1. Auf einem kompakten Definitionsbereich ist jede stetige Funktion auch gleichmäßig stetig. 2. Wenn ich mich nicht irre, ist eine Funktion mit beschränkter Ableitung gleichmäßig stetig.
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31.03.2012, 17:11	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit also reicht es zu argumentieren?
31.03.2012, 17:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit Ja, warum nicht?
31.03.2012, 17:14	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit ok, sehr schön^^ Danke
31.03.2012, 17:36	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit welche funktionen sind denn gleichmäßig stetig? Sinus, Cosinus, Geraden? und "nur" stetig? die e-funktion, Parabeln, Identität, Betragsfunktion, ln-fkt? unstetig? Signumfunktion (zumindest in Null) und Funktionen, die Definitionslücken aufweisen was ist eigentlich der unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und der Lipschitzstetigkeit?
31.03.2012, 18:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit Ja, Sinus, Cosinus und lineare Funktionen sind gleichmäßig stetig. Auch die Wurzelfunktion z.B.. Die Identität als lineare Funktion ist aber auch gleichmäßig stetig, die Betragsfunktion auch. Aber Funktionen mit Definitionslücken sind keineswegs immer unstetig? 1/x z.B. ist stetig, an der Stelle 0 aber nicht definiert. Und zur Lipschitz-Stetigkeit: (Die Definition der Lipschitz-Stetigkeit kennst du, oder?) Alle Funktionen, die Lipschitz-stetig sind, sind auch gleichmäßig stetig. In die andere Richtung funktioniert das aber nicht. Die Wurzelfunktion wäre ein Beispiel dafür: In einer kompakten (und "positiven") Umgebung von 0 ist sie gleichmäßig stetig und sonst wegen der beschränkten Ableitung. Aber $\begin{eqnarray} \vert \sqrt x-0\vert\leq L\vert x-0\vert \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} 1\leq L\sqrt x\Leftrightarrow \frac1L\leq\sqrt x \end{eqnarray}$ ; und es gibt kein L, das diese Ungleichung für alle x erfüllt. Insofern ist die Wurzelfunktion zwar gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig.

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