Extremalproblem

31.03.2012, 19:37

Alfred Gäbeli

Extremalproblem

Meine Frage:
Die Geraden g1 und g2: $\begin{eqnarray*} y=3.5x \end{eqnarray*}$ sind gegeben. Das Viereck ABCD ist ein rechtwinkliges Trapez mit maximalem Flächeninhalt.
Gesucht sind die Koordinaten von C und D sowie der Flächeninhalt.

Meine Ideen:
- g1: $\begin{eqnarray*} y=(-x)+8 \end{eqnarray*}$
- Trapezfläche in diesem Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{AB+DC}{2}*BC \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand sagen, wie ich die Strecke DC ausdrücken kann?
Dann könnte ich die Aufgabe lösen denke ich.
Für Hinweise und Tipps wäre ich dankbar.

Herzlich
AlfG

31.03.2012, 19:45

Integralos

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Hallo,
g1 ist schonmal ein richtiger Ansatz,

allerdings würde ich die Trapezfläche als eine Rechtecksfläche, von der die Fläche eines rechtiwinkligen Dreiecks abgezogen wird, ansehen.
Für diese Fläche dann eine Funktion finden und einsetzen.
lg

31.03.2012, 20:08

Alfred Gäbeli

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Sowas hab ich mir schon gedacht.
Also die Fläche des Vierecks berechne ich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} A_{Viereck}: AB*BC= x * ((-x)+8)=-x^2+8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{max}: -2x+8=0<br /> x=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g1(4)=4 \end{eqnarray*}$

der Flächeninhalt ist somit 4*4=16
Koordinaten von C liegen somit auf C(4/4).

Gemäss lösungen liegt C aber auf C(4.5/3.5)
Frustrierend.. unglücklich

Was mach ich falsch?

31.03.2012, 20:15

Integralos

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Vorsicht,
wenn du nur das Rechteck betrachtest, wäre deine Lösung korrekt.

Du hast vergessen, in deiner Hauptbedingung die Dreiecksfläche wieder abzuziehen.

Tipp:

In deiner Hauptbedingung kommen 3 verschiedene Variablen vor.

31.03.2012, 20:30

Alfred Gäbeli

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Ich betrachte hier auch lediglich das Rechteck (nicht das Trapez).
Ich wollte die Fläche des Rechtecks maximieren, um so die y-Koordinate von C herauszufinden.
Diese muss ja zwangsweise dieselbe sein wie jene von D.
Mit dieser wird es ein Kinderspiel, die x-Koordinate und somit die Fläche des Rechtwinkligen dreiecks zu eruieren.
oder liege ich schonwieder falsch?

31.03.2012, 20:39

Integralos

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So kannst du es eigentlich nicht machen da die C-Koordinate des maximalen Rechtecks nicht zwangsläufig mit der C-Koordinate des maximalen Trapezes übereinstimmen muss.
Du musst eine Flächenfunktion für das Trapez aufstellen.

Ich würde dir auch empfehlen, die Geradengleichungen so umzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} g_1 (x_D) = 3.5 \cdot x_D \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_2(x_C) = -x_C +8 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} x_C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_D \end{eqnarray*}$ dann als eigene Variablen zu betrachen, die beiden Geraden denselben y-Wert für andere x-Werte besitzen.

31.03.2012, 20:56

Alfred Gäbeli

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diese Aufgabe macht mich langsam wahnsinnig! böse

aber OK, ich versuchs nochmal.

Zitat:

allerdings würde ich die Trapezfläche als eine Rechtecksfläche, von der die Fläche eines rechtiwinkligen Dreiecks abgezogen wird, ansehen.

Das Rechteck:

$\begin{eqnarray*} x * ((-x_C)+8) \end{eqnarray*}$

Das Dreieck:

$\begin{eqnarray*} \frac{x*3.5x_D}{2} \end{eqnarray*}$

Also müsste die Fläche:

$\begin{eqnarray*} x * ((-x_C)+8)-\frac{x*3.5x_D}{2} \end{eqnarray*}$

dies führt mich allerdings auch nicht zum Ziel..

31.03.2012, 21:14

sulo

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Da Integralos off ist, mal ein Tipp:

Zitat:

Und $\begin{eqnarray*} x_C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_D \end{eqnarray*}$ dann als eigene Variablen zu betrachen, die beiden Geraden denselben y-Wert für andere x-Werte besitzen.

Ermittle den y-Wert für C, dies ist auch der y-Wert von D.
Setze die y-Werte also gleich und drücke den x-Wert von D mithilfe der zweiten Geradengleichung aus.

smile

31.03.2012, 21:19

original

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Da Integralos off ist,
noch ein etwas anderer Vorschlag, damit du nicht "wahnsinnig" wirst smile

da C und D auf einer Parallelen y=v zur x-Achse liegen, [mit 0<v<6,2..]
könnte man doch alles gleich mit nur einer Variablen v rechnen:

D( 2*v/7 ; v )

C( 8-v , v)

B ( 8-v ; 0 )

A( 0 ; 0 )

Trapez-Mittellinie m= [ 8-v + ( 8-v - 2*v/7 )]/2 = (16 - 16*v/7 )/2

Trapez Höhe h= v

Trapez-Fläche F= m*h

also 2*F(v) = 16*v - (16/7)* v^2

für die maximale Fläche : F ' .. untersuchen -> gesuchtes v ..usw

verwirrt

31.03.2012, 21:28

sulo

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@original

Wenn du meinen Vorschlag genau durchgelesen hättest, hättest du gemerkt, dass es auf einen ähnlichen Gedanken hinausläuft => man erhält eine einzige Variable.

Mir scheint dein Ergebnis allerdings etwas groß. verwirrt

31.03.2012, 21:38

original

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@sulo:
sorry, als ich den Beitrag geschrieben habe , hatte ich deinen ja ganz ähnlichen Text
noch nicht gesehen ..

wieso meinst du aber , es sei mein " Ergebnis allerdings etwas groß." verwirrt

Ich habe doch noch gar kein Ergebnis notiert, sondern nur die Funktion, die abzuleiten
wäre, um danach zu gewünschten Resultaten zu kommen
?

31.03.2012, 21:41

sulo

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Du kannst die Funktion zeichnen und dann verrät dir der Scheitelpunkt den unbekannten x-Wert und (über die y-Koordinate) auch die gesuchte maximale Fläche.... Augenzwinkern

Ist ein netter Weg um zu kontrollieren, ob man mit seinem Ansatz in die richtige Richtung geht, bevor man weiterrechnet.

smile

edit: Ich sehe aber, dass du inzwischen editiert hast. Hast du etwas an deiner Funktionsgleichung geändert?

31.03.2012, 21:50

Alfred Gäbeli

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hey Leute, danke für eure Hilfe! Echt klasse!

Zitat:

Ermittle den y-Wert für C, dies ist auch der y-Wert von D.

Das hab ich schon. Nur leider ist dieser falsch (siehe weiter oben)
Warum er aber flasch ist verstehe ich nicht. unglücklich

Zitat:

da C und D auf einer Parallelen y=v zur x-Achse liegen, [mit 0<v<6,2..] könnte man doch alles gleich mit nur einer Variablen v rechnen:

das muss ich mir erstmal zu Gemüte führen. etwas Geduld bitte, ich habe heute eine besonders lange Leitung.

31.03.2012, 21:58

sulo

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Der y-Wert von C lautet ja (8-x).
Das ist auch der y-Wert von D.

Der x-Wert von D ist xD, und dieser steht mit dem y-Wert von D in folgendem Zusammenhang:
xD = 3,5*xD.

Also hast du für den y-Wert von D 2 Ausdrücke. Wir wählen den schon bekannten Wert (8-x) für yD.

Wie kannst du jetzt xD anders ausdrücken? Du weißt, in welchem Verhältnis xD und yD zueinander stehen. smile

Bei dem Weg von original wäre ich etwas vorsichtig, weil man nicht auf xmax = 4,5 kommt.

31.03.2012, 22:02

original

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Zitat:

Original von sulo

edit: Ich sehe aber, dass du inzwischen editiert hast.
Hast du etwas an deiner Funktionsgleichung geändert?

ich habe den Faktor 1/2 ... der beim m stand .. als Faktor 2 vor dem F(v) notiert

ja, der Faktor 2 spielt beim Aufsuchen der Nullstelle der Ableitung zwar keine Rolle,
aber geschickter wäre es gewesen, die 16-er zu halbieren und F gleich so zu schreiben:

F(v)= 8v- (8/7)*v^2

mir scheint damit die nachher mit dem gefundenen v zu berechnende Fläche nicht zu gross? verwirrt

PS:
dazu: "Bei dem Weg von original wäre ich etwas vorsichtig, weil man nicht auf xmax = 4,5 kommt."
bei meinem Weg wird kein x-Wert berechnet, sondern erstmal das v direkt als Höhe des Trapezes..
(und damit als y-Wert für C und D) usw.. der Rest ergibt sich dann quasi von selbst..

31.03.2012, 22:15

sulo

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Zu deinem edit: Dann stimmt ja alles. Freude

Durch die Änderung bei deiner Funktionsgleichung errechnet sich jetzt auch der richtige Maximalwert für die Fläche.

smile

31.03.2012, 22:51

Alfred Gäbeli

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bei mir gehts leider nicht so schnell.

Zitat:

Der y-Wert von C lautet ja (8-x). Das ist auch der y-Wert von D. Der x-Wert von D ist xD, und dieser steht mit dem y-Wert von D in folgendem Zusammenhang: xD = 3,5*xD.

alles Klar.

Zitat:

Also hast du für den y-Wert von D 2 Ausdrücke.

nämlich 3.5x und 8-x

Zitat:

Wie kannst du jetzt xD anders ausdrücken? Du weißt, in welchem Verhältnis xD und yD zueinander stehen.

8-x=3.5x
--> x=8/4.5

stimmt das so?
verwirrt

31.03.2012, 23:01

sulo

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Ändern wir es ein wenig: 8-xC=3,5xD --> Dies ist beides die y-Koordinate von D

Du kannst aber nicht die x-Werte zusammenrechnen.

Was jedoch geht, ist folgende Umformung: D(xD|3,5xD) = D(xD|8-xC)

Und wir wissen, dass yD = 3,5xD und daher xD = yD/3,5.

Kannst du mir folgen? smile

31.03.2012, 23:14

original

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von wegen schnell:
vielleicht solltest du ganz unvoreingenommen nochmal neu beginnen

schau dir einfach nur meinen allerersten Beitrag nochmal an:

mach vielleicht dazu für dich nochmal eine neue Zeichnung und
trage die erwähnte Parallele y=v ein usw..

den Wert von v für die maximale Fläche bekommst du dann direkt,
wenn du die Nullstelle der ersten Ableitung von F(v)= 8v-(8/7)*v^2
ermittelst.

mit diesem v hast du dann alles ohne komplizierte Umwege,
auch die x-Werte von C und D, und natürlich auch die maximale Fläche,
wenn du diesen gefundenen y-Wert v überall einsetzt ..

fertig smile

ok?

31.03.2012, 23:32

Alfred Gäbeli

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@original
ich werde natürlich auch deinen Lösungsvorschlag noch durchrechnen, da ich diese Aufgabe (und dieses Thema) ein für allemal verstehen möchte. dein Ansatz hat nur, auf den ersten Blick, etwas schwieriger angehört. Das heisst aber nicht das ich ihn aussenvor lassen werde.

@sulo
ich weiss nicht genau worauf du hinaus willst.

Zitat:

Du kannst aber nicht die x-Werte zusammenrechnen.

was genau meinst du damit? irgendwo ist hier eine Lücke in meinem Denkprozess.

Zitat:

Was jedoch geht, ist folgende Umformung: D(xD|3,5xD) = D(xD|8-xC)

so hab ich mir das auch aufgeschrieben.

Zitat:

Und wir wissen, dass yD = 3,5xD und daher xD = yD/3,5.

kann ich nachvollziehen, weiss aber nicht was damit anfangen.

31.03.2012, 23:41

sulo

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
@sulo
ich weiss nicht genau worauf du hinaus willst.

Zitat:

Du kannst aber nicht die x-Werte zusammenrechnen.

was genau meinst du damit? irgendwo ist hier eine Lücke in meinem Denkprozess.

Die Werte sind nicht identisch, also kannst du sie nicht wie identische Werte addieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli

Zitat:

Was jedoch geht, ist folgende Umformung: D(xD|3,5xD) = D(xD|8-xC)

so hab ich mir das auch aufgeschrieben.

Zitat:

Und wir wissen, dass yD = 3,5xD und daher xD = yD/3,5.

kann ich nachvollziehen, weiss aber nicht was damit anfangen.

Das bedeutet, dass du das xD im Punkt D ersetzen kannst durch yD/3,5.
Weiterhin weißt du, dass yD das gleiche wie 8-xC ist. Augenzwinkern

Das klingt jetzt alles etwas umständlich, aber es ist nur die Erkenntnis, dass yC = yD und xD = yD/3,5. smile

01.04.2012, 00:11

Alfred Gäbeli

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Zitat:

Das klingt jetzt alles etwas umständlich, aber es ist nur die Erkenntnis, dass yC = yD und xD = yD/3,5

das versteh ich, aber wie kann ich denn mit xD= yD/3.5 bzw. xD=8-xC/3.5 weiterrechnen?

01.04.2012, 00:17

sulo

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So, wie du es am Anfang wolltest: Mit der Formel für die Trapezfläche.

Die Strecke a ist einfach x.
Die Strecke c ist xC - xD.
Die Strecke h ist yC.

smile

01.04.2012, 00:26

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich habs raus! geschockt

$\begin{eqnarray*} \frac{x+(x-\frac{8-x}{3.5})}{2}*(8-x)=\frac{-8x^2}{7}+\frac{72x}{7}-\frac{64}{7} \end{eqnarray*}$

Ableiten: $\begin{eqnarray*} \frac{-16x}{7}+\frac{72}{7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-16x}{7}+\frac{72}{7}=0<br /> x=4.5 \end{eqnarray*}$

Tanzen

Vielen Dank!! Mit Zunge

ich werde jetzt mal noch darüber schlafen. Morgen schau ich mir die Variante von Original an.

Recht herzlich
AlfG

01.04.2012, 00:28

sulo

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Wenn man davon absieht, dass du hier nur Terme statt Funktionsgleichungen aufgeschrieben hast, ist es richtig. Freude

Und die Lösung stimmt natürlich auch. smile

Gute Nacht. Wink

01.04.2012, 10:48

original

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
@original
ich werde natürlich auch deinen Lösungsvorschlag noch durchrechnen, da ich diese
Aufgabe (und dieses Thema) ein für allemal verstehen möchte.

dein Ansatz hat nur, auf den ersten Blick, etwas schwieriger angehört. verwirrt

Das heisst aber nicht das ich ihn aussenvor lassen werde.

finde es super, dass du dich so bemühst

und möglicherweise hat dich bei meinem Vorschlag nur der Name v für die Variable
etwas irritiert .. deshalb hier eine Formulierungsvariante:

v ist der Abstand der beiden parallelen Trapezseiten, dh v ist die Höhe h des Trapezes
also ersetze einfach überall das v durch die (gesuchte) Höhe h

dann hast du zB die gesuchte Fläche F deutlich als Funktion dieser Höhe:
F(h)= 8*h - (8/7)* h^2
leite ab usw..usw.. siehe oben.. du bekommst das h für die maximale Fläche
sowie dann durch Einsetzen auch gleich dieselbe ..

und die Koordinaten der Eckpunkte hast du auch sofort durch Einsetzen zB: C( 8-h ; h) usw...

hoffe, dass dir diese Erklärung hilft, dieses einfache Vorgehen besser zu verstehen verwirrt

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