Determinante symmetrischer Matrix

01.04.2012, 10:46

karl.johnson

Determinante symmetrischer Matrix

Hallo!
Hab hier diese symmetrische nxn Matrix A gegeben und soll die Determinante berechnen.. ich meine gehört zu haben das es da einen Trick gibt da ich ja mit umstellen und gauss hier nicht viel erreiche..

01.04.2012, 10:48

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Determinante Symmetrsicher Matrix
Der "Trick" ist Laplace Entwicklung, beginne einmal damit, was fällt dir auf?

01.04.2012, 11:42

karl.johnson

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn nich nach erster zeile entwickle bekomme ich :
3*det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so ..wenn ich dann die linke Matrix wieder nach erster zeile entwickle bekomm ich wieder das selbe d.h. linke Matrix ist $\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$

die rechte Matrix enwickle ich jetzt wieder nach erster zeile und bekomme:

-det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0& 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da die rechte seite eine nullspalte hat wird die determinante null... das bedeutet
die lösung ist $\begin{eqnarray*} 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ oder hab ich irgendwo vertan?

01.04.2012, 11:44

karl.johnson

Auf diesen Beitrag antworten »

das "nich" in der ersten zeile bitte ignorieren

01.04.2012, 12:31

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} D_2=8\neq 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ oder verwirrt

01.04.2012, 12:55

karl.johnson

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt aber wo ist der fehler Hammer

01.04.2012, 13:27

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von karl.johnson
stimmt aber wo ist der fehler Hammer

Ich fürchte, solange du nicht preisgibst, wie du auf das ominöse Ergebnis $\begin{eqnarray*} 3^{n-1} \end{eqnarray*}$ kommst, kann dir auch niemand wirklich helfen... geschockt

Die Rechnungen davor stimmen jedenfalls noch, wenngleich die meisten die rechte Matrix wohl nach der ersten Spalte entwickelt hätten, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen...

01.04.2012, 14:00

karl.johnson

Auf diesen Beitrag antworten »

hast recht nach erster spalte ist das sicher einfacher...
also bin jetzt soweit:
3*3*...*3*det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -n*det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit erstmal richtig?

01.04.2012, 14:41

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt nicht die leiseste Ahnung, aus welchem Hut du diese Formel zauberst, ich kann mit ihr jedenfalls gar nichts anfangen... verwirrt

Warum führst du nicht mal eine ordentliche Bezzeichnung ein, z.B. $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ für die Determinanten deiner n x n - Matrizen, wie von riwe schon indirekt vorgeschlagen?... Daraus sollte sich dann einfach eine zweistufige lineare Rekursion herleiten lassen...

01.04.2012, 15:05

karl.johnson

Auf diesen Beitrag antworten »

dann mal schritt für schritt:
geg.: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> laplace entw. nach erster zeile-->
$\begin{eqnarray*} D_{n} = 3\cdot det\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} - det\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei die linke determinate: $\begin{eqnarray*} D_{1} = det\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die rechte determinante: $\begin{eqnarray*} D_{2} = det\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} D_{2} \end{eqnarray*}$ nach erster spalte entwickelt: $\begin{eqnarray*} D_{3} = -det\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ersetze ich $\begin{eqnarray*} D_{2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} D_{3} \end{eqnarray*}$ in der Gleichung $\begin{eqnarray*} D_{n} \end{eqnarray*}$ --->

$\begin{eqnarray*} D_{n} = 3\cdot det\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} - (-det\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix}) = 4\cdot det\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.04.2012, 15:12

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott, langsam beginnen ich zu kapieren, welchem fundamentalen Irrtum du da aufsitzt... geschockt

Deine Matrizen haben zwar alle die gleiche Bauart, aber doch verschiedene Dimensionen... Schreib dir mal den Fall n=4 im Detail auf, um das zu sehen...

01.04.2012, 15:33

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

nach deiner formel sollten alle werte gerade sein, was sie nicht sind, denke ich verwirrt

.

versuche einmal

$\begin{eqnarray*} D_n=3*D_{n-1}-....\text{ mit }D_1=3\wedge D_2=8 \end{eqnarray*}$

der 2. faktor sei dir überlassen.

und möglicherweise hilft das, auf eine geschlossen(er)e form zu kommen

3,8,21,55,144...

Neue Frage »

Antworten »

Determinante symmetrischer Matrix

Verwandte Themen