Auslastungsmodell

01.04.2012, 10:50

lúa

Auslastungsmodell

Meine Frage:
Hallo,

ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und komme einfach mit einer Frage gar nicht klar.

"Ein Geldautomat bei einer Bank ist für 50 Kunden pro Stunde ausgelegt. Erfahrungs-werte haben gezeigt, dass durchschnittlich 1000 Kunden pro Tag (24 Stunden) diesen Geldautomaten benutzen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde dieser Automat überlastet ist. Wie ändert sich die Situation, wenn ein zweiter Automat installiert wird?"

Meine Ideen:
Erstmal habe ich:
µ = 41,67 Kunden pro Stunde
und eine Auslegung von 50 Kunden pro Stunde.
Danach komme ich schon nicht weiter. Was ist p?

Stehe quasi komplett auf dem Schlauch, auch wenn ich mir sicher bin, dass ich sowas in der Vergangenheit schonmal richtig gerechnet habe :/

01.04.2012, 11:13

Mazze

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Als erstes überlegt man sich, wie die 1000 Kunden pro Tagwohl verteilt sind. Da keine Angaben dazu gemacht werden kann man ja sonst was annehmen, aber ich denke mal man will den Durschnittswert pro Stunde haben den Du schon ausgerechnet hast. (was sicherlich unrealistisch ist, da Nachts wohl weniger Kunden da sind als tagsüber)

Jetzt müsste man sich noch überlegen wie die Anzahl der Kunden pro Stunde wohl verteilt ist. Die erste Idee ist immer eine Normalverteilung (ob das sinnvoll ist sei mal dahingestellt), nur ist die Anzahl der Kunden eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Welche Verteilungen auf den natürlichen Zahlen oder deren Teilmengen kennst Du ? Welche wäre wohl für dieses Problem "angemessen". Es gibt da tatsächlich eine die man oft dafür verwendet.

01.04.2012, 11:27

lúa

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Hypergeometrisch kenne ich noch, aber da bin ich gar nicht drauf gekommen, weil wir nie in dem Zusammenhang damit was gemacht haben.
Ist sie das? Bin komplett ahnungslos und verwirrt unglücklich

01.04.2012, 11:30

Mazze

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Das ist ein typisches Beispiel für die Poissonverteilung!

01.04.2012, 11:47

lúa

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Ich habe Poisson schon versucht, aber es kommt immer ein falsches Ergebnis raus.
Der Schritt von Poisson zum Ergebnis (8,9%) ist mir nicht klar...

Für x habe ich 50 gewählt, das dann hoch 42 und dann e hoch 50?
Im Nenner steht 42!
(Kann mit dem iPhone leider keine Formel einfügen...)

01.04.2012, 15:12

Mazze

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Zitat:

Für x habe ich 50 gewählt, das dann hoch 42 und dann e hoch 50?

Du hast was gemacht ?

Du suchst nicht die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X = 50) \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} P(X > 50) \end{eqnarray*}$

01.04.2012, 15:18

lúa

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Ich sitze jetzt am normalen PC und versuche das mal per Formeleditor zu machen!

$\begin{eqnarray*} {1-}\frac{50^{42}*e^{-50} }{42!} = {0,968786} \end{eqnarray*}$
So dachte ich? Und dann die Gegenwahrscheinlichkeit davon, das habe ich vergessen.
In den Lösungen steht 8,9% und ich bekomme immer das (s.o.) raus :/
Irgendwie klappts gar nicht.

01.04.2012, 15:48

Mazze

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Zitat:

So dachte ich?

Einfach nur irgendwas auszurechnen bringt dich der Lösung nicht näher. Nehmen wir an wir haben $\begin{eqnarray*} \lambda = 42 \end{eqnarray*}$ ,

dann ist

$\begin{eqnarray*} p_\lambda(X) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Soweit nichts neues. Wir suchen

$\begin{eqnarray*} P(X > 50) \end{eqnarray*}$ , und das ist $\begin{eqnarray*} 1 - P(X \leq 50) \end{eqnarray*}$ , jetzt musst Du Dir noch überlegen wie Du das ausrechnen kannst. Du musst aber schon mehr tun als einfach nur die 50 in die Verteilung einzusetzen.

p.s.: Der Parameter Lambda der Poissonverteilung darf übrigens eine positive reelle Zahl sein, Du kannst also mit dem exakten Wert 1000/24 rechnen.

01.04.2012, 16:18

lúa

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Oh man, also mich kann man wirklich mit der Nase auf die Lösung drücken und ich sehs nicht! VIELEN DANK Mazze!!! Und danke für die Geduld.
Wirtschafts- und Finanzmathe macht mich total gaga, sodass auch die Statistik drunter leidet.

NATÜRLICH muss ich die Summe von 0 bis 50 nehmen, dann kommt man auch drauf. OH MAN!

01.04.2012, 16:30

Mazze

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Zitat:

NATÜRLICH muss ich die Summe von 0 bis 50 nehmen, dann kommt man auch drauf. OH MAN!

So siehts aus Augenzwinkern

Zitat:

Oh man, also mich kann man wirklich mit der Nase auf die Lösung drücken und ich sehs nicht!

Naja, tatsächlich hast Du den Gedankengang zu verstehen dass man von 0 bis 50 summieren muss selbst vollzogen. Ich hab Dir nur gesagt Du sollst mal genau schauen was P(X <= 50) genau ist Augenzwinkern

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