schnittmenge in unendlichen mengen, unifrage informatik

01.04.2012, 12:10	VilVil	Auf diesen Beitrag antworten »
schnittmenge in unendlichen mengen, unifrage informatik Meine Frage: Wenn zwei Mengen Mi und Mj eine nichtleere Schnittmenge besitzen und Teil einer unendlichen Mengen Abfolge M1,M2,M3...Mn sind, besitzt diese Abfolge (uendlicher Mengen) dann auch eine nichtleere Schnittmenge? Meine Ideen: Wenn ich nun darauf das Assoziativgesetz anwende, würde ich sagen, dass egal in welcher Reihenfolge ich die Mengen miteinander vergleiche, immer das selbe Ergebnis dabei herauskommt, also eine nichtleere Schnittmenge. Falls meine Schlussfolgerung richtig ist, wie begründe ich sie?
01.04.2012, 12:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schnittmenge in unendlichen mengen, unifrage informatik Verstehe ich das richtig: Sei $\begin{eqnarray} (M_k)_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge von Mengen mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \forall i,j \colon M_j \cap M_i \neq \emptyset \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \cap_{k \in \mathbb N} M_k \neq \emptyset \end{eqnarray}$ ? Edit: diese Aussage wäre falsch. Wenn du diese meinst, solltest du ein Gegenbeispiel suchen.
01.04.2012, 12:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schnittmenge in unendlichen mengen, unifrage informatik Falls ich dich richtig verstehe, hast du eine Folge von Mengen, von denen mindestens zwei eine nichtleere Schnittmenge besitzen. Dann kann der Schnitt all dieser Mengen aber trotzdem leer sein. Beispiel: $\begin{eqnarray} M_1=\{1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_2=M_1=\{1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_i=\{2\} \end{eqnarray}$ für i>2 Dann ist $\begin{eqnarray} M_1\cap M_2=\{1\}\neq\emptyset \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{i=1}^\infty M_i=\emptyset \end{eqnarray}$ , da schon $\begin{eqnarray} M_2\cap M_3=\emptyset \end{eqnarray}$ . Wenn die Vereinigung zweier Mengen nichtleer ist, dann ist das auch die Vereinigung über die gesamte Folge, für den Schnitt gilt das aber nicht. mfg, Ché Netzer
01.04.2012, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Kreiskette wie sie in der Funktionentheorie für die Fortsetzung eines Funktionselements benutzt wird. Je zwei (aufeinanderfolgende) Mengen Mi,Mj haben nichtleeren Durchschnitt. Im allgemeinen ist der Durschnitt aller Mk leer. Schon mit 3 Mengen mit je 2 Elementen kann man sich ein Beispiel machen mit paarweise nichtleerem Durchschnitt, bei dem der Durchschnitt der 3 Mengen leer ist.

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