Formeln für Werte der folgenden Summen

01.04.2012, 18:30

King_Jigga

Formeln für Werte der folgenden Summen

a) 1+5+9+......+(4n+1)

$\begin{eqnarray*} S_{n}= \frac{n}{2} (2a+ (n-1) *d \end{eqnarray*}$

hab dann für a=1; d=4; n=n+1

aber wieso überhaupt für n= n+1 ?????

$\begin{eqnarray*} S_{n+1}= \frac{n+1}{2} (2a+ (n+1-1) *4 \end{eqnarray*}$

meine lösung ist 4n^2 +6n+ 2
wäre super wenn das jm überprüfen kann.

b) 1*2+2*3+3*4+.....n*(n+1)

hier ist mein vorschlag:

a=2; n=n+1; d=???

Hier bräucht ich ne hilfe

01.04.2012, 23:38

Mulder

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen

Zitat:

Original von King_Jigga
a) 1+5+9+......+(4n+1)

$\begin{eqnarray*} S_{n}= \frac{n}{2} (2a+ (n-1) *d \end{eqnarray*}$

hab dann für a=1; d=4; n=n+1

aber wieso überhaupt für n= n+1 ?????

$\begin{eqnarray*} S_{n+1}= \frac{n+1}{2} (2a+ (n+1-1) *4 \end{eqnarray*}$

meine lösung ist 4n^2 +6n+ 2
wäre super wenn das jm überprüfen kann.

Hmm... vielleicht liegt's ja an mir, aber ich steig da nicht so ganz durch. Ist auch etwas wortkarg, was hast du denn gemacht?

Ich nehme an, du möchtest eine geschlossene Darstellung (also auch ohne Summenzeichen) haben?

Deine Lösung 4n^2 +6n+ 2 passt doch irgendwie nicht. Wenn man n=1 einsetzt, ergibt sich 4+6+2=12. Wie will man da oben auf 12 kommen? Die ersten beiden Summanden addiert ergeben 6, addiert man den dritten dazu, ist man schon bei 15 angekommen.

Also, darstellen kann man die erste Summe doch so:

$\begin{eqnarray*} 1+5+9+ ... + (4n+1) = \sum_{i=0}^n (4i+1) \end{eqnarray*}$

Und nun kann man erst die 1 da rausholen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n (4i+1) = \sum_{i=0}^n 4i + \sum_{i=0}^n 1 \end{eqnarray*}$

Den Rest liefert dann die Gauß'sche Summenformel. Die "rechte" Summe, wo nur über die 1 summiert wird, ist auch trivial.

02.04.2012, 15:53

King_Jigga

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
ook danke also ich habs jetzt so gemacht

$\begin{eqnarray*} 4* \frac{n(n+1)}{2} + n+1 \end{eqnarray*}$

ergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} 2n^{2} + n+ 3 \end{eqnarray*}$

ist richtig

aber wieso ist bei deinem summenzeichen i=0; fängt die summe nicht bei i=1 an??

02.04.2012, 16:01

Mulder

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen

Zitat:

Original von King_Jigga
ergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} 2n^{2} + n+ 3 \end{eqnarray*}$

Offensichtlich nicht. Setzt man n=0 ein, erhält man als Ergebnis 3. Setzt man n=2 ein, ergibt sich 8+2+3=13. Beide Zahlen tauchen oben in deiner Folge

Zitat:

1+5+9+......+(4n+1)

nirgends auf, wenn du die ersten Summanden addierst. Im Schritt vorher war es noch richtig, also rechne da nochmal gründlich den letzten Schritt nach.

Zitat:

Original von King_Jigga
aber wieso ist bei deinem summenzeichen i=0; fängt die summe nicht bei i=1 an??

Nein, wieso? Setz doch mal für n ein paar Zahlen ein, wenn du von i=1 beginnst, wird es falsch.

Am Ende bei der Summe über 4i kannst du den ersten Summanden natürlich streichen, der wird ja eh null. Bei der anderen Summe aber nicht!

02.04.2012, 16:12

King_Jigga

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
habs nochmal nachgerechnet;

ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 2n^{2} + 3n+ 1 \end{eqnarray*}$

also mit i=0 hab ich es jetzt verstaden in der summe.

hab gedacht der gauss geht nur wenn wie hier unten k=1 ( in unserem Fall i=1)) ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

02.04.2012, 16:14

Mulder

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
Es ist da doch vollkommen egal, ob man bei i=1 oder bei i=0 losläuft, der erste Summand wird sowieso null.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n i = 0 + \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n i \end{eqnarray*}$

02.04.2012, 16:30

King_Jigga

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
ook danke habs jetzt glaub ich verstanden:
wie ist es dann bei dieser aufgabe.

1*2+2*3+3*4+.... n*(n+1)

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k*(k+1) \end{eqnarray*}$

ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} n^{3} + n^{2} + \frac{2}{3}n \end{eqnarray*}$

02.04.2012, 20:28

Mulder

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
Ist richtig.

02.04.2012, 21:25

King_Jigga

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RE: Formeln für Werte der folgenden Summen
ok danke nochmals

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