Integration von einem unbestimmten Integral

01.04.2012, 21:49

Vonderklippe

Integration von einem unbestimmten Integral

Abend Leute,

ich wollte euch fragen wie man den dieses Integral $\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ löst?

Ich dachte mir durch substition aber dazu muss ja ein teil weginegrierbar sein und das ist es ja hier nicht.

Würde mich echt freuen wenn mir jemand helfen könnte.

MfG

01.04.2012, 21:54

Che Netzer

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral
Mein Ansatz wäre folgender:
$\begin{eqnarray*} \sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \end{eqnarray*}$

Substitution hört sich nicht gut an.
Eher partielle Integration, nach zweimaliger Anwendung dürfte ja nochmal das gleiche Integral bei rauskommen; dann einfach umstellen.

mfg,
Ché Netzer

01.04.2012, 21:55

original

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral
Tipp:

versuch es mal mit partieller Integration
(der Übergang zur e -Darstellung für sinh(x) bzw. cos(x) ist dabei nicht nötig)

.

01.04.2012, 21:59

Integralos

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Definition Sinus Hyperbolicus:

$\begin{eqnarray*} sinh(x) = \frac{1}{2}\cdot (e^x - e^{-x}) \end{eqnarray*}$

dann ein paarmal partiell integrieren...ist ein bisschen rechenaufwand aber ansonsten machbar.
lg

edit: bin wohl zu langsam beim Schreiben...

01.04.2012, 22:08

Vonderklippe

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral
Ist es dann egal ob ich sinh(x) oder cos(x) also u oder v' definiere für die partielle Integration?

01.04.2012, 22:09

Che Netzer

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral
Ja, solange du danach richtig rechnest, spielt das keine Rolle.

01.04.2012, 22:10

original

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral

Zitat:

Original von Vonderklippe
Ist es dann egal ob ich sinh(x) oder cos(x) also u oder v' definiere für die partielle Integration?

egal ? - warum probierst du das nicht selbst mal aus? smile

01.04.2012, 22:27

Vonderklippe

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral
Jzt habe ich da so ein ellenlangen Therm smile

$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \! cosh(x) *sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x) *-cos(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)* -cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich kann vermutlich dann das letzte Integral auf der rechten Seite addieren und dann steht
$\begin{eqnarray*} 2*\int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \! cosh(x) *sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x) *-cos(x) \end{eqnarray*}$

ist das dann alles?

01.04.2012, 22:43

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RE: Integration von einem unbestimmten Integral

Zitat:

Original von Vonderklippe

Jzt habe ich da so ein ellenlangen Therm

hm .. das ist ja echt was Heisses

schon der erste Schritt:
vor dem Integral rechts: wie sieht das Vorzeichen richtig aus? ->
$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \! cosh(x) *sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

und dann:
solltest du (zB in einer Nebenrechnung) dieses Integral nocheinmal bearbeiten
und das Ergebnis richtig einsetzen..
du wirst dann rechts drei Summanden haben - den dritten kannst du dann auf die linke
Seite der Gleichung nehmen .. usw
fertig.
probiers nochmal ->

01.04.2012, 23:03

Vonderklippe

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$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \int \! cosh(x) *sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x) *-cos(x) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)* -cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

gott wie ich den scheis mit den latex hasse... dauert ewigkeiten bis man was findet und fehler zu machen ist auch zu einfach .Auf meinen zettel habe ich dort ein minus^^
Ist das so richtig oder muss da etwas weg?

01.04.2012, 23:24

Vonderklippe

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Ich denke ich habe es jetzt richtig smile

$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \int \! cosh(x) *sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sinh(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} sinh(x) *-cos(x) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)* -cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (sinh(x)*sin(x) -cosh(x)*cos(x) )/2 \end{eqnarray*}$

01.04.2012, 23:30

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$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)\cdot cos(x) \, dx = sinh(x)\cdot sin(x) - \int \! cosh(x)\cdot sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! sinh(x)\cdot cos(x) \, dx = sinh(x)\cdot sin(x) - \left[-cos(x)\cdot cosh(x) +\int \! sinh(x)\cdot cos(x) \, dx \right] \end{eqnarray*}$

löse nun die eckige Klammer noch auf
(und du wirst sehen, welchen Fehler du oben gemacht hast)

also:
wie heisst das richtige Resultat? -> ...

02.04.2012, 00:00

Vonderklippe

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Ok vielen dank und dann noch bis zu dieser späten zeit smile

ich habe lediglich das minus nicht beachtet beim 2. mal integrieren :P

.....= $\begin{eqnarray*} [sinh(x)*sin(x)+cosh(x)*cos(x)]/2 \end{eqnarray*}$

02.04.2012, 00:02

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..................... jetzt fehlt nur noch die Integrationskonstante .. smile

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