Grenzwertsatz - Wurzel

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02.04.2012, 02:55	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertsatz - Wurzel Hallo, Folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)=a \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a\ge 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n\ge 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt. Zeigen sie: $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a} \end{eqnarray}$ Meine Überlegung: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ so gewählt, dass für alle $\begin{eqnarray} n\ge n_0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a} \end{eqnarray}$ Nun folgt: $\begin{eqnarray} <br /> \|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}\|&&\le \sqrt{\|a_n-a\|+\|a\|}-\sqrt{a}\| < \left\|\sqrt{\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}+\|a\|}-\sqrt{a}\right\|=\left\|\sqrt{\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}+\sqrt{a}^2}-\sqrt{a}\right\|\\<br /> &&=\left\|\sqrt{(\epsilon+\sqrt{a})^2}-\sqrt{a}\right\| = \|\epsilon +\sqrt{a}-\sqrt{a}\|=\epsilon<br /> \end{eqnarray}$ Ist das soweit in Ordnung oder übersehe ich da einen Fehler? Gruß, Willy
02.04.2012, 08:47	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertsatz - Wurzel Ich denke schon, dass das in Ordnung ist, nur sollte man m.E. eher von der Gleichung $\begin{eqnarray} \sqrt{a_n}-\sqrt a = \frac {a_n-a}{\sqrt{a_n}+\sqrt a} \end{eqnarray}$ ausgehen, auch wenn man dabei den lästigen Sonderfall $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ und gleichzeitig $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ noch extra betrachten muss...
02.04.2012, 09:58	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mystic, Vielen Dank für deine Antwort. Um ehrlich zu sein habe ich die Identität erst gesehen, nachdem ich mehrmals drüber geschaut habe (peinlich peinlich ). Also heißt das in dem Fall, dass es ausreichend wäre, wenn ich $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\epsilon\sqrt{a} \end{eqnarray}$ abschätzen würde? Weil dann könnte ich schlussfolgern: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}\|=\frac{\|a_n-a\|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}}<\frac{\epsilon\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\epsilon \end{eqnarray}$ Der Spezialfall $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ ist dann trivialerweise erfüllt, da $\begin{eqnarray} 0<\epsilon \end{eqnarray}$ gilt.
02.04.2012, 10:00	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte übrigens heißen: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}\|\le\frac{\|a_n-a\|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}} \end{eqnarray}$
02.04.2012, 10:06	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wobei deine Abschätzung im Fall a=0 und $\begin{eqnarray} a_n>0 \end{eqnarray}$ nicht funktionieren würde, da hier dann eine Null im Nenner auftaucht...
02.04.2012, 10:28	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man dafür wieder einen Spezialfall machen, also $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\epsilon^2 \end{eqnarray}$ , oder kriegt man das irgendwie kompakt in die Abschätzung? Ich seh' da jetzt gerade keine Möglichkeit wie ich nach oben hin abschätzen kann ohne $\begin{eqnarray} \sqrt{a_n} \end{eqnarray}$ komplett aus dem Nenner zu streichen. Und wenn $\begin{eqnarray} \sqrt{a_n} \end{eqnarray}$ aus dem Nenner weg ist, kann ich mit [LATEX]\sqrt{a}[\LATEX] nicht viel schätzen.
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02.04.2012, 10:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertsatz - Wurzel Ich widerspreche Mystic nur sehr ungern, aber $\begin{eqnarray} \|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}\|&&\le \sqrt{\|a_n-a\|+\|a\|}-\sqrt{a}\| \end{eqnarray}$ ist falsch. Für $\begin{eqnarray} a_n = 2.5, a = 3 \end{eqnarray}$ würde sich $\begin{eqnarray} \|\sqrt {2.5} - \sqrt{3}\| \le \|\sqrt{3.5} - \sqrt{3}\| \stackrel{\sim}\Leftrightarrow 0.15 \le 0.13 \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass man den ersten Summanden größer macht, und ihn so ggfs. näher an den Grenzwert schiebt. Edit: Als etwas schöneres Beispiel, weil der Fehler danach sofort wieder auftaucht: $\begin{eqnarray} \|1\| = \|0 - 1\| \leq \|1 - 1\| = 0 \end{eqnarray}$ ist falsch.
02.04.2012, 11:41	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertsatz - Wurzel @JesusChristus Ich würde überhaupt den ganzen Fall a=0 vorab gesondert betrachten, auch wenn diese Fallunterscheidung etwas unelegant wirkt... @Ifindu Ja, da war ich wohl etwas zu nachlässig, offfenbar weil ich - und das soll jetzt kerine Entschuldigung sein - das von vornherein nicht für die beste Möglichkeit hielt und schon meinen Ansatz im Auge hatte...
02.04.2012, 12:33	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank ihr beiden

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