Scheitelpunktsform aus allg. quadratischer Funktionsgleichung herleiten

02.04.2012, 13:57

Mathegenie!?

Scheitelpunktsform aus allg. quadratischer Funktionsgleichung herleiten

Meine Frage:
Also, wir sollen für die Schule die allgemeine Scheitelpunktsform aus der allgemeinen quadratischen Funktion herleiten. Dazu sind also auch die Umformungsschritte notwenig.

Aus

f(x) = ax² + bx + c

soll

f(x) = a(x-b)² + c

werden.

Meine Ideen:
Ich glaube, den erstn Schritt in die richtige Richtung gemacht zu haben:

f(x) = ax² + bx + c |:a

f(x):a = x² + (bx):a + c:a |*a

f(x) = a * (x² + (bx):a + c:a)

Aber wie gehts jetzt weiter???
Kann mir da jemand helfen?

02.04.2012, 16:19

DP1996

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Zuerst einmal wird aus ax²+bx+c nicht a(x-b)²+c werden, denn wenn du letzteres ausmultiplizierst, hast du ax²-2abx+ab²+c, und das ist im allgemeinen nicht dasselbe.

Korrekt solltest du also in der zweiten Form die Parameter (außer x natürlich) vorerst anders benennen, z.Bsp s(x-t)²+u

Deine Umformungen sin dsoweit korrekt Freude

Weiter geht's mit der quadratischen Ergänzung!

03.04.2012, 16:46

Mathegenie!?

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Kann man denn die quadr. Ergänzung auch mit Klammern durchführen?
Ich dachte, dass würde nicht funktionieren und hab deshalb das wieder neu angefangen.

ax² + bx + c = y | : a
x² + bx:a + c:a = y:a | - c : a
x² + bx:a = y:a - c:a | jetzt quadr. Ergänzung mit ((b:a):2)²
x² + bx:a + ((b:a):2)² = y:a - c:a + ((b:a):2)² | bin. Formel
(x+(b:a):2)² = y:a - c:a + ((b:a):2)² | + c:a - (b:a):2)²
(x+(b:a):2)² + c:a - (b:a):2)² = y:a |*a
a * (x+(b:a):2)² + c - ((b:a):2)²) * a = y

So...
Jetzt siehts ja schon fast so aus, wie die Form

s (x-t)² + u = y

Aber: Kann man das ((b:a):2)²) * a nicht noch irgendwie zusammenfassen?
Oder hab ich vllt. zwischendurch was falsch gemacht, sodass das eigentlich gar nicht hinkommen kann?

03.04.2012, 21:31

Dopap

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du gibst dir echt Mühe, aber Schreibfiguren wie x:2:a sind schwer lesbar

besser x/(2*a) andererseits ist das auch in Latex kein Problem:

code:
1:	\frac {x}{2a}

Rechts beim Formeleditor sind alle gängigen Symbole zu finden.

Wenn wir Antworten geben, sollten die ja auch in Latex geschrieben sein. Am besten gleich damit anfangen!

04.04.2012, 17:39

Mathegenie!?

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Zitat:

Geändert von Mathegenie!?
Kann man denn die quadr. Ergänzung auch mit Klammern durchführen?
Ich dachte, dass würde nicht funktionieren und hab deshalb das wieder neu angefangen.

ax² + bx + c = y | : a

x² + $\begin{eqnarray*} \frac{bx}{a} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ | - $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$

x² + $\begin{eqnarray*} \frac{bx}{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ | jetzt quadr. Ergänzung mit ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )²

x² + $\begin{eqnarray*} \frac{bx}{a} \end{eqnarray*}$ + ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ + ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² | bin. Formel

(x + $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ + ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² | + $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ - ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )²

(x + $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² + $\begin{eqnarray*} \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$ - ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ |*a

a * (x + $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² + c - ( ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )²) * a = y

So...
Jetzt siehts ja schon fast so aus, wie die Form

s (x-t)² + u = y

Aber: Kann man das ( ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )²) * a nicht noch irgendwie zusammenfassen?
Oder hab ich vllt. zwischendurch was falsch gemacht, sodass das eigentlich gar nicht hinkommen kann?

Besser?

04.04.2012, 18:43

DP1996

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Um an Dopaps Post anzuknüpfen: Latex hat auch noch Klammern, damit sieht's dann noch besser aus, aber das ist eine Sache der Optik, denn lesbar ist es jetzt auf jeden Fall.

Dann empfiehlt sich noch, das b in den Brüchen nach unten zu holen, einfach weil es die gängigere (und gewohntere) Schreibweise ist, dann kannst du den letzten Term nämlich auch noch zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a} \end{eqnarray*}$

Stimmen tut's Freude

Und kontrollieren könntest du es ja einfach über Ausmultiplizieren.

Edit: x^2 zu x --- Danke für den Hinweis!

04.04.2012, 19:11

Mathegenie!?

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Zitat:

Original von DP1996
Um an Dopaps Post anzuknüpfen: Latex hat auch noch Klammern, damit sieht's dann noch besser aus, aber das ist eine Sache der Optik, denn lesbar ist es jetzt auf jeden Fall.

Dann empfiehlt sich noch, das b in den Brüchen nach unten zu holen, einfach weil es die gängigere (und gewohntere) Schreibweise ist, dann kannst du den letzten Term nämlich auch noch zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} a\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{2a} \end{eqnarray*}$

Stimmen tut's Freude

Und kontrollieren könntest du es ja einfach über Ausmultiplizieren.

Hä?
Warum hat denn das x auf einmal ein ² ?

Und wie kommst du jetzt auf die Umfomung?

( ( $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )²)

= ( ( $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2a} \end{eqnarray*}$ )²)

= $\begin{eqnarray*} \frac{b²}{4+4a+a²} \end{eqnarray*}$ | das jetzt noch mal a

= $\begin{eqnarray*} \frac{b²*a}{4+4a+a²} \end{eqnarray*}$

Bei mir würde das ganze also so aussehen:

a * (x + $\begin{eqnarray*} \frac{b:a}{2} \end{eqnarray*}$ )² + c - $\begin{eqnarray*} \frac{b²*a}{4+4a+a²} \end{eqnarray*}$ = y

Hab ich mich verrechnet?

04.04.2012, 19:18

DP1996

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Du hast doch im Nenner (2*a)^2 und nicht (2+a)^2

Wobei sich da bei mir nochmal ein Fehler eingeschlichen hat, da müsste nämlich bei mir 4a stehen, wird noch editiert...

04.04.2012, 20:04

Mathegenie!?

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Okay, einverstanden ^^

Aber wären es demnach nicht 4a²?

Und was ist mit dem x, müsste da denn nicht eig. nur x anstatt von x² stehen?

05.04.2012, 00:10

Dopap

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ob das geklärt wird, oder nicht, ist eine Frage der Fragestellung:

1.) beim Zitieren nur das Notwendigste verwenden. Keine kompletten Zitate und unbedingt
Zitate in Zitaten vermeiden.!

2.) bei einer Frage " müsste das x^2 nicht eigentlich x heissen?
dann aber genau die Stelle des Originals zitieren.

soviel Zeit muss sein.

Ansonsten kann man den Thread nicht mehr nachvollziehen.

05.04.2012, 09:52

Mathegenie!?

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Okay, danke für deine Formfehler-Hinweise Dopap

Und danke vielmals für deine wirklich hilfreichen Antworten, die sich auf mein Problem bezogen DP1996!
Ohne dich hät ichs nicht geschafft! Gott

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