eps-delta-Kriterium für f(x)=x² in einem Punkt

02.04.2012, 17:44

Kiwiatmb

eps-delta-Kriterium für f(x)=x² in einem Punkt

Hallo

Ich sitze gerade an der Stetigkeit und möchte es mal langsam angehen lassen. Also meine an mich selbst gestellte Aufgabe:
Beweise mit der Definition, dass f(x)=x² im Punkt x_0=1 stetig ist.

Mein Versuch mal hier:

Definition von Stetigkeit mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta - \end{eqnarray*}$ Kriterium:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \forall x \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta>|x-x_0|=|x-1| \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|= =|x²-1|= =|x²-2x+1+2x-2|= =|(x-1)²+2x-2| \end{eqnarray*}$
und mit Dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} \le |(x-1)²|+|2x-2|\le \le {\delta}²+2|x-1|\le \le {\delta}²+2\delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit als epsilon? Wenn ja, würde ich das jetzt halt nach delta auflösen (kommt nur eine positive Lösung raus) und wäre quasi fertig.

Vielen Dank schonmal !

Kiwi

P.S.: Bitte seid gnädig mit mir, was evtl. fehlende/falsche Betragsstriche angeht, muss das dringend nochmal wiederholen... verwirrt

02.04.2012, 18:39

galoisseinbruder

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Ich nehme mal an f ist eine Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen. (Eine Funktion besteht außer der Abbildungsvorschrift immer auch aus Quelle und Ziel).

Zitat:

Sei nun $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$

Das ist der falsche Anfang.
Es muss heißen
Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$
denn das epsilon ist beliebig, das delta hängt hingegen von epsilon ab. (und es ist ja die Existenz eines Delta zu jedem Epsilon zu zeigen.)

Die Abschätzungen danach passen und mit der letzten Zeile kannst du dann wie du gesagt hast zu jedem epsilon ein geeignetes delta finden. (Es gibt auch hier zu jedem Epsilon mehrere geiegnete Delta´s, aber das ist wurscht - wir brauchen nur dass es mindestens eins gibt. )

P.S. An den Betragsstrichen habe ich nichts auszusetzen.

02.04.2012, 19:11

Kiwiatmb

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Ja, natürlich alles in R. Sorry.

Gut, Epsilon anstatt delta klingt auch recht sinnvoll.

Fragen:

1. Möchte ich die Stetigkeit für den gesamten Definitionsbereich R zeigen, muss ich hier bei dem Beispiel im Prinzip ja nur die 1 durch ein x_0 ersetzen (und natürlich dann auch entsprechend erweitern) und der Beweis läuft analog ab?

2. Wie mache ich das denn bei komplizierteren Funktionen (abgesehen von den Stetigkeitssätzen mit Produkt, Quotient, Verkettung,... stetiger Funktionen)? Hier war ja die Dreiecksungleichung der Clou, aber wie schätze ich nicht ganz so einfache Aufgaben richtig ab? Gibt's da 'nen allgemeinen Trick oder Tips, worauf man achten sollte?

3. Was fehlt denn jetzt noch, um den Beweis komplett zu machen? Delta bestimmen und dann sagen, dass es zu jedem epsilon dieses delta gibt und fertig? Oder muss ich das dann wiederum durch nochmaliges Aufschreiben der Abschätzungen begründen?

Die Betragsstriche sind nach Gefühl gesetzt, von daher ist es zwar schön, dass sie richtig sind, aber vielleicht sollte ich mir doch nochmal anschauen, wieso sie richtig sind. Big Laugh

Großes Dankeschön soweit !

02.04.2012, 19:19

galoisseinbruder

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1. ja.

2. Abschätzen ist eher eine Kunst. Es gibt viele verschiedene Ungleichungen die man in bestimmten Fällen anwenden kann, Dreicksungleichung ist eine der nützlicheren. Und natürlich: Übung macht den Meister.

3. Ich schreibe solche Epsilontik Beweise immer so auf:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \end{eqnarray*}$ [hier ein Delta einfügen mit dem es funktioniert] und dann die Ungleichungskette.

04.04.2012, 18:29

Kiwiatmb

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Vielen Dank für die Erklärungen, hat mir alles sehr geholfen ! Freude

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