Primzahlen,Teiler [Zahlentheorie]

02.04.2012, 23:47

öPus

Primzahlen,Teiler [Zahlentheorie]

Meine Frage:
Es ist folgendes zu zeigen:
Es seien $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ Primzahlen, $\begin{eqnarray*} p>3 => 12|(p+(p+2)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ersichtlich ist, dass ggT(12,p)=1
Ich suche die Restklasse von p modulo 12
Da kommt p=5 und p=11 mod 12 infrage.
$\begin{eqnarray*} p=\{5+l*12|l \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} p=\{11+k*12|k \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$
Oder stimmt das mit 11 gar nicht mehr, weil p+2=13=1 mod 12 was keine primzahl wäre.??

$\begin{eqnarray*} ggT(p(p+2))=ggT(5+l*12+(5+l*12+2))=ggT(5+l*12+(7+12l))=ggT(12*(1+2<br /> l)) \end{eqnarray*}$
Was mich verwirrt ist, dass nun ja nur eine zahl dasteht..?

$\begin{eqnarray*} ggt(p(p+2))=ggT(11+k*12+(11+k*12+2))=ggT(11+k*12+(13+12k))=ggT(24+<br /> 2*k*12)=ggT(12*(2+2k) \end{eqnarray*}$

03.04.2012, 00:08

Mystic

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RE: Primzahlen,Teiler [Zahlentheorie]

Zitat:

Original von öPus
Meine Frage:
Es ist folgendes zu zeigen:
Es seien $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ Primzahlen, $\begin{eqnarray*} p>3 => 12|(p+(p+2)) \end{eqnarray*}$

Da es keine Primzahl außer 2 gibt, sodass p und p+1 prim ist, aber p>3 sein muss, ist die Voraussetzung immer falsch, die Aussage daher immer richtig ("Ex falso quodlibet")... Freude

Vielleicht meinst du aber auch nur die Aussage, dass alle Primzahlen (ausgenommen 2 und 3) von der Form 6k-1 oder 6k+1 sind, was dann, falls 6k-1 und 6k+1 beide prim (für dasselbe k) sind auf 12|(6k-1)+(6k+1) führt...

03.04.2012, 00:27

öPus

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Ich hab mich verschrieben, es heißt natürlich p,p+2 eine Primzahl
Angabe:
Zeige
Es seien $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+2 \end{eqnarray*}$ Primzahlen, $\begin{eqnarray*} p>3 \end{eqnarray*}$
so gilt $\begin{eqnarray*} 12|(p+(p+2)) \end{eqnarray*}$

kannst du dir meine Überlegungen nochmals anschauen?

03.04.2012, 00:35

Mystic

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Zitat:

Original von öPus
Ich hab mich verschrieben, es heißt natürlich p,p+2 eine Primzahl
Angabe:
Zeige
Es seien $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+2 \end{eqnarray*}$ Primzahlen, $\begin{eqnarray*} p>3 \end{eqnarray*}$
so gilt $\begin{eqnarray*} 12|(p+(p+2)) \end{eqnarray*}$

Ja, das hab ich mir schon gedacht und ich habe das auch oben unter diesen Voraussetzungen bewiesen...

Zitat:

Original von öPus
kannst du dir meine Überlegungen nochmals anschauen?

Um ehrlich zu sein, ich werde nicht schlau daraus... Das beginnt schon damit, dass du Restklassen mod 12 und nicht mod 6 betrachtest, was ja hier vollkommen ausreicht, und setzt sich dann fort mit ggT-Betrachtungen, die mich einfach nur ratlos zurücklassen, weil ich so überhaupt keine Ahnung habe, worauf du da hinauswillst... verwirrt

Übrigens: Könnest du dir meine Überlegungen oben auch mal anschauen? Wäre nicht ganz uninteressant für mich zu wissen, ob sie für dich einleuchtend sind oder nicht...

03.04.2012, 00:49

öPus

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Nein die Aussage oben ist nicht klar, da wir den beweis zu: "alle Primzahlen (ausgenommen 2 und 3) sind von der Form 6k-1 oder 6k+1" nicht in der Vorlesung hatten.

Ich hab mich auch vertan( das mit ggT ist quatsch) ich versuchs nochmal zu erklären:
Ersichtlich ist, dass ggT(12,p)=1
Ich suche die Restklasse von p modulo 12
p kann kein Teiler von 12 sein da ggT(12,p)=1, ebenfalls muss p eine Primzahl sein und p+2 auch eine Primzahl modulo 12
Da kommt p=5 mod 12 infrage.
$\begin{eqnarray*} p=\{5+l*12|l \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p(p+2))=(5+l*12+(5+l*12+2))=(5+l*12+(7+12l))=(12*(1+2 l)) \end{eqnarray*}$
=> 12 | (p+(p+2))

So korrekt?

Wieso redest du von mod 6?
in mod 6 wäre p=5 und p+2=7=1 mod 6
und 1 ist keine Primzahl

03.04.2012, 01:19

Mystic

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Zitat:

Original von öPus
Nein die Aussage oben ist nicht klar, da wir den beweis zu: "alle Primzahlen (ausgenommen 2 und 3) sind von der Form 6k-1 oder 6k+1" nicht in der Vorlesung hatten.

Sollte aber trotzdem sofort zu sehen sein: Jede ganze Zahl ist doch von einer der Bauarten

$\begin{eqnarray*} 6k-2,6k-1,6k,6k+1,6k+2,6k+3 \end{eqnarray*}$

Von welcher Bauart muss (abgesehn von 2 oder 3) eine Primzahl sein, damit sie weder durch 2, noch durch 3 teilbar ist? Eben... Augenzwinkern

Zitat:

Original von öPus
$\begin{eqnarray*} (p(p+2))=(5+l*12+(5+l*12+2))=(5+l*12+(7+12l))=(12*(1+2 l)) \end{eqnarray*}$
=> 12 | (p+(p+2))

So korrekt?

Ja, du hast zu Beginn das Produkt statt der Summe gebildet, aber davon abgesehen korrekt... Freude

Zitat:

Original von öPus
Wieso redest du von mod 6?
in mod 6 wäre p=5 und p+2=7=1 mod 6
und 1 ist keine Primzahl

Primzahlen (außer 2 und 3) sind $\begin{eqnarray*} \equiv \pm 1 \mod 6 \end{eqnarray*}$ , aber nicht gleich $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ , da ist schon noch ein Unterschied... Lehrer

03.04.2012, 01:24

öPus

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Aber müsste ich dann den fall p=11 nicht auch noch dazunehmen?
$\begin{eqnarray*} p=\{k*12+11|k\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

03.04.2012, 01:28

Mystic

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Zitat:

Original von öPus
Aber müsste ich dann den fall p=11 nicht auch noch dazunehmen?
$\begin{eqnarray*} p=\{k*12+11|k\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

Ja, müsstest du, und genau aus diesem Grund ist es von vornherein besser, Zahlen der Form

$\begin{eqnarray*} 6k \pm 1 \end{eqnarray*}$

zu betrachten, womit man zwei Fliegen mit einer Klappe erschlägt... Augenzwinkern

03.04.2012, 08:07

öPus

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Ja das stimmt.
Aber um mich nchmal zu vergewissern, es ist auch korrekt, wenn man sich das modulo 12 ansieht und die zwei Fälle sich ansieht?

lg

03.04.2012, 08:51

Mystic

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Zitat:

Original von öPus
Aber um mich nchmal zu vergewissern, es ist auch korrekt, wenn man sich das modulo 12 ansieht und die zwei Fälle sich ansieht?

Ja, ist es... Aber um es auch nochmals zu sagen: Warum sollte man es so machen, wenn es einfacher geht? verwirrt

03.04.2012, 08:57

öPus

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Weil ich wissen will ob meine Überlegungen vom Anfang gestimmt haben.

Danke für die Hilfe,lg

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