Bilienearform anti/symmetrisch |
| 03.04.2012, 14:35 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Bilienearform anti/symmetrisch 2 semester hat begonnen und hier schon die ersten Problemchen :-) Die aufgabe lautet: Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und es werde Char(K) =/= 2 vorausgesetzt. In Bil(V;V) betrachte man die Teilräume U bzw. W aller symmetrischen bzw. aller schief-symmetrischen Bilinearformen. a) Bestimme die Dimensionen von Bil(V;V), U und W. b) Zeige, daß W ein Komplementärraum zu U in Bil(V;V) ist. Lösung: a) Die Dimension von Bil(V;V) ist n², dass ist nicht schwer zu beweisen, eher fällt es mir schwieriger die dimensionen der unterräume zu bestimmen. Definiere: B_a als antisymmetrische Bilinearform, also B_a(x,y) = -B_a(y,x) für alle x,y element V B_s als symmetrische Bilinearform, also B_s(x,y) = B_s(y,x) für alle x,y element V Geht man aus folgendem heraus, dass eine beliebige Bilinearform B element Bil(V;V) sich als summe von B_a und B_s darstellen lässt, dann gilt für B* (das ist die tranponierte für B) B*=B_s - B_a Woraus nach paar umrechnungen sich für B_a=(B-B*)/2 B_s=(B+B*)/2 ergibt, setzt man also B_a und B_s den sich ergebenen werten, wird man jede B als summe solcher darstellen können! Mit diesem ansatz habe ich geschafft zu zeigen, dass die unterräume komplementär sind, wenn ich nur noch zeige dass schnitt 0 ist, hier brauche ich auch hilfe. Und ich vermute dass die dimension der unterräume jeweils n²/2 ist, weiß aber nicht wie ich es zeigen kann. Bitte um tipps, danke im voraus! |
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| 03.04.2012, 14:45 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bilienearform anti/symmetrisch wenn du die isomorphie einer bilinearform zu ihrer darstellenden matrix ausnutzen darfst (edit: also isomorphie der jeweiligen räume) ist es relativ einfach (dann ist nämlich die b.form genau dann symmetrisch, wenn die darst. m. symmetrisch ist, z.b.). lg |
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| 03.04.2012, 15:02 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » |
yep, danke, alles easy, bin lösung aufschreiben ;-) |
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