Logarithmusfunktion - Identität zeigen

03.04.2012, 21:15

Roper

Logarithmusfunktion - Identität zeigen

Meine Frage:
Es sei die Funktion $\begin{eqnarray*} \log:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \log(n)=\begin{cases}0&\textrm{wenn }n=0\\\lfloor \log_2(n)\rfloor+1&\textrm{wenn }n>0\end{cases} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \log(n)=\log\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)+1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir bei meiner Idee nicht sehr sicher, weil sie vielleicht etwas "merkwürdig" ist. Ich würde argumentieren: Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist die Identität klar. Weiterhin gilt dass für alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ konstant auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [2^\lambda,\ldots, 2^{\lambda+1}-1] \end{eqnarray*}$ ist. Da ich für jedes $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ finden kann, sodass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in obigem Intervall ist, bleibt lediglich zu zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} n\in[2^\lambda,\ldots, 2^{\lambda+1}-1]\Rightarrow \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\in[2^{\lambda-1},\ldots, 2^{\lambda}-1] \end{eqnarray*}$ . Da die Abbildung $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist genügt es die Ränder zu überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor\frac{2^\lambda}{2}\right\rfloor=2^{\lambda-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\lfloor\frac{2^{\lambda+1}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor 2^{\lambda}-\frac{1}{2}\right\rfloor=2^{\lambda}-1 \end{eqnarray*}$

Was denkt ihr, geht das so in Ordnung? Wie geht es einfacher?

Gruß,
Roper

PS: Sorry, falls das nicht in Analysis passt, aber ein besseres Forum konnte ich dafür nicht finden.

03.04.2012, 21:41

Roper

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Sollte eigentlich nicht in Schulmathematik, sry!

Habs grad mal geschubst
LG Equester

04.04.2012, 11:13

Roper

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RE: Logarithmusfunktion - Identität zeigen
Es hat sich noch ein kleiner Typo eingeschlichen (war wohl gestern etwas müde). Bei der Überprüfung des rechten Randes sollte es heißen:
$\begin{eqnarray*} \left\lfloor\frac{2^{\lambda+1}{\color{red}-1}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor 2^{\lambda}-\frac{1}{2}\right\rfloor=2^{\lambda}-1 \end{eqnarray*}$

04.04.2012, 11:31

Mystic

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RE: Logarithmusfunktion - Identität zeigen
Es ist mir jetzt nicht ganz klar, ob dir bewußt ist, dass dein log(n) nichts anderes als die Binärstelligkeit von n ist, wonach die Aussage eigentlich trivial ist, oder ob du trotzdem noch sowas wie einen "formalen Beweis" willst...

04.04.2012, 12:17

Roper

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Hallo Mystic,

Danke für diene Antwort. Du hast recht, das hätte ich vielleicht erwähnen sollen. Mir ist klar, dass es sich um die Stelligkeit handelt und das diese Identität auch genau deswegen gilt. Es geht mir hauptsächlich um eine Formalisierung der Intuition und darum, ob meine Herleitung korrekt ist.

04.04.2012, 13:52

Mystic

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Ich denke schon, dass dein Beweis korrekt ist, würde aber folgendes anders machen:

1. Die Funktion nicht log nennen (das ist in der Mathematik üblicherweise der Logarithmus zur Basis e), sondern wie im Folgenden f.

2. Wenn die Rekursion

$\begin{eqnarray*} f(0)=0, f(n)=f( \lfloor n/2 \rfloor)+1 \quad \forall n >0 \end{eqnarray*}$

gilt, so würde ich diese einfach in f(n) solange immer wieder einsetzen, bis man dann f(0) erreicht hat und den expliziten Wert f(0)=0 verwenden kann...

05.04.2012, 15:43

Roper

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Zitat:

Original von Mystic
1. Die Funktion nicht log nennen (das ist in der Mathematik üblicherweise der Logarithmus zur Basis e), sondern wie im Folgenden f.

Sorry, ich habe die Aufgabe einfach so abgetippt wie ich sie bekommen habe Big Laugh

Ansonsten Danke für den Hinweis.

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