Operation auf Äquivalenzrelation

04.04.2012, 00:02

ermeglio

Operation auf Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Hallo ihr lieben, ich schlage mich wieder mit Äquivalenzrelationen und co. um und bin wieder einmal mehr unsicher ob ich alles richtig mache...

vielen Dank für Eure hife!

Hier die Aufgabe:

Auf der Menge $\begin{eqnarray*} M = \left\{ {-4,-3,-2,-1, 0, 1, . . . ,8}\right\} \subseteq Z \end{eqnarray*}$ ist eine Äquivalenzrelation S, wie
folgt, definiert:

$\begin{eqnarray*} xSy: \Leftarrow\Rightarrow \exists q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x-y = 6q \end{eqnarray*}$ d.h. x und y haben den gleichen Rest für die Division durch 6.

a) Bestimmen Sie die Menge der Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} M_S \end{eqnarray*}$ und geben Sie die entsprechende
Partition (Aufteilung in nicht leere disjunkte Teilmengen) an.

b) Eine Addition (+) und eine Multiplikation (*) sind, wie folgt, auf $\begin{eqnarray*} M_S \end{eqnarray*}$ erklärt:

$\begin{eqnarray*} [x]_S+[y]_S = [x+y]_S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [x]_S*[y]_S = [x*y]_S \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x * y =xy \end{eqnarray*}$ (Produkt)

Geben Sie die Additions- und Multiplikationstafel an.

c) Prüfen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (M_S,+) \end{eqnarray*}$ eine kommutative Gruppe ist.

d) Ist (MS, ¯Å, ¯¤) ein Ring? ein Körper? Begründen Sie Ihre Antwort!

Meine Ideen:
Aufgabe a) habe ich bereits gelöst (http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1588753#post1588753) und rausgefunden dass ich 6 Restklassen habe:

$\begin{eqnarray*} [0]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 0 (mod6) \right\} = \left\{ 0,6 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [1]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 1 (mod6) \right\} = \left\{ 1,7 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [2]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 2 (mod6) \right\} = \left\{ -4, 2, 8 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [3]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 3 (mod6) \right\} = \left\{ -3,3 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [4]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 4 (mod6) \right\} = \left\{ -2,4 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [5]_{6} =\left\{y \in \mathbb M; y \equiv 5 (mod6) \right\} = \left\{ -1,5 \right\} \end{eqnarray*}$

und daher dachte ich an folgende Lösung für b)

die Addition (sorry ,sollte ein Matrixtabelle darstellen)

$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ -------> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 &[1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 \\ [1]_6 \\ [2]_6 \\ [3]_6 \\ [4]_6 \\ [5]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ---> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 &[1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 \\ [1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 & [0]_6 \\ [2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 &[0]_6 &[1]_6 \\ [3]_6 &[4]_6 &[5]_6 &[0]_6 &[1]_6 &[2]_6 \\ [4]_6 &[5]_6 &[0]_6 &[1]_6 &[2]_6 &[3]_6 \\ [5]_6 &[0]_6 &[1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

die Multiplikation

$\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ -------> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 &[1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 \\ [1]_6 \\ [2]_6 \\ [3]_6 \\ [4]_6 \\ [5]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} [0]_6 &[0]_6 &[0]_6 &[0]_6 &[0]_6 &[0]_6 \\ [0]_6 & [1]_6 &[2]_6 &[3]_6 &[4]_6 &[5]_6 \\ [0]_6 &[2]_6 &[4]_6 &[0]_6 &[2]_6 &[4]_6 \\ [0]_6 &[3]_6 &[0]_6 &[3]_6 &[0]_6 &[3]_6 \\ [0]_6 &[4]_6 &[2]_6 &[0]_6 &[4]_6 &[2]_6 \\ [0]_6 &[5]_6 &[4]_6 &[3]_6 &[2]_6 &[1]_6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt es bis jetzt ?

DANKE !!!!!

04.04.2012, 00:12

weisbrot

Operation auf Äquivalenzrelation

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