Anzahl der Bahnen bestimmen

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Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Bahnen bestimmen
Ich soll zu der Figur, die ich im Anhang angefügt habe, die Anzahl der Bahnen bestimmen.
Sei M die Menge aller Färbungen von F, bei denen jedes der 12 kleinen Dreiecke der Figur entweder rot oder blau gefärbt ist. Die Gruppe operiert in natürlicher Weise auf M.

Ich weiß, dass ich nun die Konjugiertenklassen bestimmen muss. Es handelt sich ja um eine Diedergruppe der Ordnung 24. Also D_12. Ich kenne die "Formeln" zum Bestimmen der Drehungen und Spiegelungen. Nur weiß nicht, wie ich es konkret an dieser Figur anwenden soll. Wie kann ich das Ding denn drehen, wenn die Dreiecke auch im Innern liegen???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Bahnen bestimmen
Hallo Quad,

Die Symmetriegruppe hat nur 12 Elemente.

Überlege Dir einfach, dass jeder der äußeren Eckpunkte wieder auf einen äußeren Eckpunkt abgebildet werden muss - und diese Eckpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Damit muss eine Symmetrie der Figur auch eine Symmetrie des Sechsecks sein. Nun lässt aber jede Symmetrie dieses äußeren Sechsecks die komplette Figur invariant und insofern ist die Symmetriegruppe der Figur gleich der Symmteriegruppe des Sechsecks.
(Jedenfalls wenn man die Richtung der Streichholzköpfe vernachlässigt. ;-)

Nun schaust Du einfach, wie viele Färbungen jeweils unter den Elementen der Symmetriegruppe invariant sind und verwendest das Burnside-Lemma.

Gruß,
Reksilat.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Werbung: In [Artikel] Gruppenoperationen unter Punkt 4 findest du das Burnside-Lemma mit einem kleinen Beispiel.
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