Lotto 6 aus 45 mit eigenen Lösungswegen

04.04.2012, 13:13

Tanzender Barde

Lotto 6 aus 45 mit eigenen Lösungswegen

Mahlzeit zusammen!

Ich übe derzeit für eine Klausur u.a. Kombinatorik und ich muss sagen, dass mir dieses Stoffgebiet mitunter ziemlich schwer fällt. Manche Beispiele sind trivialst, wohingegen auf andere oftmals kein Schema passen will.

Wie auch immer: Es geht beim folgenden Beispiel um Lotto 6 aus 45 wie es in Österreich gespielt wird. Ich hab mir Lösungen dazu angesehen und sie mit meinen eigenen verglichen. Die Lösungen an sich stimmen, aber meine Lösungswege sind ganz andere und ich bin nun nicht sicher ob diese stimmen bzw. könnte es rein hypothetisch ja auch Zufall sein. (unwahrscheinlich aber möglich).

Also los geht's:

Wie viele mögliche Tipps gibt es beim Lotto "6 aus 45"?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}45 \\ 6 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. eben 45/6 * 44/5 ... 40*1 = 8145060.

Das hab ich noch gleich gelöst.

Die Wahrscheinlichkeit für einen 6er wäre 1/8145060 = 0,000000123 bzw. * 100 für die % Angabe, also 0,000012277%

Dann die Anzahl der möglichen 5er

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}39\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 234

6 über 5, weil ich von 6 Zahlen 5 richtige haben möchte und 39 über 1, weil die letzte Zahl falsch sein muss, also aus den 39 (45-6)

Die Anzahl der möglichen 5er mit Zusatzzahl

Ich hätte gesagt, dass ist einfach 234 * (1/39) = 6.
Begründung: Ich will im Grunde erstmal wieder einen 5er haben, jedoch dann noch eine Ziffer hinzugeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich die richtige Ziffer auf meinem Blatt habe beträgt ein 39stel. (Eine aus den verbliebenen 39 Kugeln)

Hier sind die Lösungen anderer Studierender weitaus komplizierter (für mich). Ist mein Gedangengang nachvollziehbar und richtig?

Die Wahrscheinlichkeit für einen 5er wäre dann meines Erachtens nach:

234/8145060 = 0.000028729

Begründung: 234 mögliche 5er / Anzahl der möglichen Tipps.

Für 5er mit Zusatzzahl analog: 6/8145060 = 0.000000737

Wieviele 4er gibt es?

latex]\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end {pmatrix\begin{pmatrix} 39 \\ 2\end{pmatrix}[/latex] = 11115

Hier scheiden sich die Geister bei den Lösungen extrem. Eigentlich wollte ich mein Ergebnis einfach mit der Wahrscheinlichkeit verifizieren, also:

11115 / 8145060 = 0,001364631 * 100 = 0,136...%

Doch laut Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Lotto

beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen 4er beim Lotto "6 aus 45" nur 0,129..%
Woher also die Abweichung? Doch ein Fehler bei der Anzahl der möglichen 4er? Oder berechne ich die % falsch?

3) Wie viele Tipps müssten Sie abgeben um sicher einen 6er zu haben?

45 über 6 = 8145060

4) Wie viele Tipps müssten Sie abgeben um mindestens einmal in den Gewinnrängen (3er oder besser) zu sein?

Puh, die ist etwas gemein. Mit dem Addieren der Wahrscheinlichkeiten für x >= 3 ist es nicht getan. Aber so wirklich weiter weiß ich hier nicht.

Anregungen?

5) Bei wie vielen Tipps stimmt mindestens eine Zahl?

Analog zu 4

6) Bei wie vielen Tipps sind alle Zahlen falsch?

39 über 6 = 3262623

Anregungen, Meinungen, Erfahrungen und Co. erwünscht und erbeten! smile

Freundliche Grüße
Tanzender Barde

04.04.2012, 21:42

Venus²

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RE: Lotto 6 aus 45 mit eigenen Lösungswegen

Zitat:

Original von Tanzender Barde
Wie viele mögliche Tipps gibt es beim Lotto "6 aus 45"?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}45 \\ 6 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. eben 45/6 * 44/5 ... 40*1 = 8145060.

Die Wahrscheinlichkeit für einen 6er wäre 1/8145060 = 0,000000123 bzw. * 100 für die % Angabe, also 0,000012277%

richtig.

Zitat:

Dann die Anzahl der möglichen 5er

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}39\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 234

6 über 5, weil ich von 6 Zahlen 5 richtige haben möchte und 39 über 1, weil die letzte Zahl falsch sein muss, also aus den 39 (45-6)

Die Anzahl der möglichen 5er mit Zusatzzahl

Ich hätte gesagt, dass ist einfach 234 * (1/39) = 6.
Begründung: Ich will im Grunde erstmal wieder einen 5er haben, jedoch dann noch eine Ziffer hinzugeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich die richtige Ziffer auf meinem Blatt habe beträgt ein 39stel. (Eine aus den verbliebenen 39 Kugeln)

richtig. Man kann sich das auch noch einfacher überlegen: Für die 5 richtigen Kugeln gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, für die Zusatzzahl $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}=1 \end{eqnarray*}$ , insgesamt also 6*1 = 6 Möglichkeiten.

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit für einen 5er wäre dann meines Erachtens nach:

234/8145060 = 0.000028729

Begründung: 234 mögliche 5er / Anzahl der möglichen Tipps.

Für 5er mit Zusatzzahl analog: 6/8145060 = 0.000000737

richtig.

Zitat:

Wieviele 4er gibt es?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 \\ 4 \end {pmatrix}\begin{pmatrix} 39 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 11115

Hier scheiden sich die Geister bei den Lösungen extrem. Eigentlich wollte ich mein Ergebnis einfach mit der Wahrscheinlichkeit verifizieren, also:

11115 / 8145060 = 0,001364631 * 100 = 0,136...%

Doch laut Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Lotto

beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen 4er beim Lotto "6 aus 45" nur 0,129..%
Woher also die Abweichung? Doch ein Fehler bei der Anzahl der möglichen 4er? Oder berechne ich die % falsch?

Was du ermittelst, stimmt. Wikipedia macht eine Fallunterscheidung in "mit Zusatzzahl" und "ohne Zusatzzahl". Dann ist $\begin{eqnarray*} P(4)=P(4 m. Zusatzzahl) + P(4 o. Zusatzzahl)=\frac{ \begin{pmatrix}6 \\ 4 \end {pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}38 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 4 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}38 \\ 2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 45 \\ 6 \end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 39 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 45 \\ 6 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

3) Wie viele Tipps müssten Sie abgeben um sicher einen 6er zu haben?

45 über 6 = 8145060

richtig.

Zitat:

4) Wie viele Tipps müssten Sie abgeben um mindestens einmal in den Gewinnrängen (3er oder besser) zu sein?

Puh, die ist etwas gemein. Mit dem Addieren der Wahrscheinlichkeiten für x >= 3 ist es nicht getan. Aber so wirklich weiter weiß ich hier nicht.

Über das Gegenereignis gehen... schlimmstenfalls sind die ersten N-1 abgegebenen Stimmzettel nicht in den Gewinnrängen.

Zitat:

5) Bei wie vielen Tipps stimmt mindestens eine Zahl?

Ebenfalls über das Gegenereignis gehen... dieses findest du in 6).

Zitat:

6) Bei wie vielen Tipps sind alle Zahlen falsch?

39 über 6 = 3262623

richtig.

lg

05.04.2012, 10:56

Tanzender Barde

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Recht herzlichen Dank.

Für 4) und 5) also einfach Aufsummieren und dann die 3 Millionen aus 6) - dem aufsummierten Betrag + 1 (weil ich ja eines mehr brauch um mindestens einmal zu gewinnen)

?!

05.04.2012, 11:16

Venus²

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Zitat:

Original von Tanzender Barde
Recht herzlichen Dank.

Für 4) und 5) also einfach Aufsummieren und dann die 3 Millionen aus 6) - dem aufsummierten Betrag + 1 (weil ich ja eines mehr brauch um mindestens einmal zu gewinnen)

?!

zu 5) Es gibt N = (39 über 6) Möglichkeiten dafür, dass du keine Richtige hast. Gibst du also N Stimmzettel ab, so könnte darunter kein Stimmzettel mit mindestens einer Richtigen sein. Wie viele Stimmzettel musst du also abgeben, damit mindestens auf einem Stimmzettel nicht alle falsch sind?

05.04.2012, 18:59

Tanzender Barde

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(39 über 6) + 1 wäre meine Antwort. Wenn ich alle falschen weg hab, dann muss der nächste den ich hinlege mindestens in einer Zahl richtig sein.

09.04.2012, 17:54

Venus²

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Richtig.

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