Stereografische Projektion eines Kreises Rk mit Radius k und Mittelpunkt (0,k)

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04.04.2012, 13:53	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Stereografische Projektion eines Kreises Rk mit Radius k und Mittelpunkt (0,k) Meine Frage: Hi, Ich mache meine Präsentation von meinem Proseminar über äquivalente Teilmengen und komme bei einem Beweis (bei einem Teil des Beweises) nicht weiter. Es geht darum, dass ich jeden Kreis mit Radius k und Mittelpunkt (0,k) auf eine offene Menge, die aus waagrechen Streifen besteht, mittels stereografischer Projektion abbilden muss. ( ich hab mal ein Screenshot von der Aufgabe reingestellt.) [attach]23820[/attach] Meine Ideen: Ich hab jetzt schon echt oft versucht die funktion die diesen Vorgang beschreibt darzustellen, aber ich komme immer auf komische Ergebnisse... Den Beweis habe ich aus einem Buch, das ist auf englisch. aber die gehen da ganz anders ran als ich (und da kann ich irgendwie nicht folgen) Eigentlich kann man doch zur Orientierung den Punkt (0,0) nehmen und versuchen die lineare Funktion f(x) aufzustellen. Ich hab mir überlegt dass man als Punkt dieser Funktion eben (0,0) nimmt und als richtung (x,2k)... dann wäre f(x)=(0,0)+t*(x,2k)=(tx,2kt) Die Kreisgleichung ist: x²+y²=1 Also: (tx)²+(2kt)²=1 aber wenn ich dann versuche nach t umzuformen...kommt was komisches raus.. kann auch sein dass mein ansatz irgendwie nen knick hat... Danke schonmal für die Hilfe,
04.04.2012, 14:14	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stereografische Projektion eines Kreises Rk mit Radius k und Mittelpunkt (0,k) gleich mal ne frage: du willst eine bijektion vom kreis auf die y-achse finden? oder worum gehts genau? lg
04.04.2012, 14:22	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich denke so kann man das auch sagen :-D....
04.04.2012, 14:24	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm, ich meinte x- achse , du sicher auch
04.04.2012, 14:30	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
auf den ersten blick hast du ne falsche kreisgleichung, deine wäre für den mittelpunkt (0,0), aber der ist ja (0,k), und der radius ist auch nicht 1 sondern k; also wäre richtig: x^2+(y-k)^2=k^2 . lg
04.04.2012, 14:31	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, x achse....ich hab grad gedacht meinen fehler gefunden zu haben aber irgendwie komm ich trotzdem nicht weiter. ich hab die kreisgleichung x²+y²=1 benutzt ...aber der radius ist ja k --> x²+y²=k
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04.04.2012, 14:35	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh jetzt..ich probier's so nochmal
04.04.2012, 14:35	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ja nicht ganz, guck nochmal mein letzten post. lg edit: naja, obwohl, eigendlich kannstes auch so machen, mach erstmal
04.04.2012, 14:41	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, hab deinen post erst nach meinem Post gesehen... ....ich verstehe was du meinst... wenn man das dann umformt kommt x²+y²=2ky raus....sowas steht auch in dem Buch ... aber wie muss ich dann weiter machen ? ich hatte eigentlich vor für x tx einzusetzen und für y 2k aber irgendwie wird das blöd
04.04.2012, 15:00	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
hab das grad mal gemacht; wenn du eine funktion von genau diesem kreis auf die reellen zahlen (bzw. eben die x-achse) suchst, brauchst du die kreisgleichung im prinzip nicht zum bestimmen der funktionsvorschrift sondern eben nur zum erhalten der punkte die du einsetzen darfst. aber bei der idee sind wir uns einig, oder (siehe anhang)? wir haben (0,2k) als festen punkt der gerade, (x_0,y_0) ist irgendein punkt des kreises {(x,y) in R^2 \| x^2+(y-k)^2=k^2}; allg. geradengleichung: y=m*x+n; wir bestimmen mit den punkten n=2k und m=(y_0-2k)/(x_0); dann geradengl. =0 setzen und x ermittel, was der wert unserer funktion ist (sie ist dann auf dem gesamten kreis bis auf (0,2k) definiert). lg
04.04.2012, 15:16	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie ist das bei dir anderstrum. [attach]23824[/attach] so muss man das abbilden ( so ist die Skizze zumindest im Buch). Und dann wäre unser fester Punkt nicht (0,2k) sondern (0,0)...und die gerade geht durch den Punkt (x,2k) aber damit komme ich nicht weiter. weil der Punkt auf dem Kreis wäre dann ja auch wieder (x_0,y_0)
04.04.2012, 15:20	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]23825[/attach] schaumal: so leiten die das her.....bis zu x²+y²=2ky kann ich es jetzt nachvollziehen ... aber wie die dann einfach so auf f(x,y) schließen können weiß ich nicht. edit: Du musst auf das Bild klicken, dann wirds scharf und groß
04.04.2012, 15:29	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
naja f(x,y) ist halt der schnittpunkt der gerade mit der gerade y=2k (sie habens genauso so gemacht wie ich, nur etwas verschoben und gespiegelt, edit: und f ist bei denen R^2-wertig, nicht wie bei mir eindimensional, läuft aber aufs selbe hinaus). im 2. schritt ersetzen sie dann noch k, damit f unabhängig von k ist (hätt ich vllt. auch machen sollen, naja), und dann haste ne schöne projektion von kreis auf linie. probiers doch mal selbst so wie ichs beschrieben habe, dann wirds vllt. klarer. lg
04.04.2012, 15:40	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn bei dir auf das m ? bei mir wäre ja dann n=0 oder nicht ?
04.04.2012, 15:48	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ja bei dir ist der y-achsenabschnitt offenbar =0. dann hast du noch y = mx. jetzt stellst du dir vor du setzt einen bestimmten pkt. (x_0,y_0) des kreises ein => y_0 = mx_0 => m = y_0/x_0 , also y = y_0/x_0 * x . in deiner version setzt du jetzt mit y = 2k gleich => 2k = y_0/x_0 * x => x = 2k * x_0/y_0 . somit sehen wir: f bildet einen punkt (x_0,y_0) des kreises auf (2k * x_0/y_0,2k) ab. klar jetzt? lg
04.04.2012, 15:56	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh jetzt...mein Problem war dass ich y_0 und y nicht auseinander gehalten habe...dann hat sich das immer weggekürzt :P.. Dankeeeeeeee!!!! Danke für die Mühe!

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