Ableiten mit kettenregel

Neue Frage »

04.04.2012, 16:47	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableiten mit kettenregel Meine Frage: Hallo ich hab probleme diese funktion abzuleiten . Kann mir jemand helfen? $\begin{eqnarray} f(x) = ln \sqrt{\sin(x + \frac{pi}{4} ) } \end{eqnarray}$ Soll ich jetzt zuerst mal das $\begin{eqnarray} x + \frac{pi}{4} \end{eqnarray}$ ableiten und danach das sin ableiten oder wie gehe ich genau vor? Meine Ideen: Bereits gepostet Edit Equester: Latexklammern gesetzt.
04.04.2012, 17:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableiten mit kettenregel Vielleicht kannst du mit diesen Hilfsfunktionen etwas anfangen: $\begin{eqnarray} g(x):=\ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x):=\sqrt x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k(x):=\sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l(x):=x+\tfrac\pi4 \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f(x)=g(h(k(l(x)))) \end{eqnarray}$ Und die Kettenregel schreibe ich mal etwas unformeller auf: $\begin{eqnarray} (f(...))' = f'(...) \cdot (...)' \end{eqnarray}$ mfg, Ché Netzer
05.04.2012, 12:00	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was muss ich denn nun zuerst ableiten?
05.04.2012, 12:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beschrieben. Betrachte f folgendermaßen: $\begin{eqnarray} f(x)=g(\dots) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(\dots)(\dots)' \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist $\begin{eqnarray} \dots=h(k(l(x))) \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} f(x)=g'(h(k(l(x))))\cdot h'(\dots)(\dots)' \end{eqnarray}$ , wobei ... hier natürlich wieder anders aussieht.
05.04.2012, 12:41	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich versuch mal abzuleiten. Zuerst das innere ( x+ pi/4 ) = 1 sin ´ = cos x ln ( x) abgeleitet = 1/x Aber ich weiss nicht wie ich das genau aufschreiben soll? Ein biischen musst du mir noch helfen.
05.04.2012, 12:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wurzel hast du noch vergessen. Mit den von mir aufgestellten Funktionen: $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac1x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h'(x)=\frac1{2\sqrt x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k'(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l'(x)=1 \end{eqnarray}$ Schreib als erstes mal die Ableitung von f komplett mit den Funktionen g,h,k und l auf, so wie ich es schon angefangen habe. Danach kannst du die eigentlichen Funktionen einsetzen.
Anzeige

05.04.2012, 12:56	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
f´(x) = 1/x * 1/2Wurzel aus x cos x *1
05.04.2012, 13:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest doch erst nur die Funktionsnamen g, h, k und l benutzen. Und so stimmt das natürlich nicht. Du gehst von $\begin{eqnarray} g(h(k(l(x)))) \end{eqnarray}$ aus. Wenn du das ableitest, hast du einmal die äußere Ableitung, also g' von dem, was darin steht, und dann die innere Ableitung, du multiplizierst also noch mit der Ableitung von h(k(l(x))). Und dabei gehst du genauso vor.
05.04.2012, 13:05	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hab ich so ein wenig probleme . Kannst du mir das nicht bitte einen ansatz schreiben.
05.04.2012, 13:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (g(h(k(l(x)))))' = g'(h(k(l(x))))\cdot (h(k(l(x))))' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (h(k(l(x))))' = h'(k(l(x)))\cdot (k(l(x)))' \end{eqnarray}$ Also haben wir schonmal $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(h(k(l(x))))\cdot h'(k(l(x)))\cdot (k(l(x)))' \end{eqnarray}$ . Das kann man jetzt weiter ausschreiben und dann die einzelnen Funktionen einsetzen.
05.04.2012, 13:16	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist ich krieg das irgendwie nicht hin . kANNST du mir das nicht mit zahlenwerte zeigen.
05.04.2012, 13:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Zwischenbemerkung: Man kann sich eine Verkettung sparen, da $\begin{eqnarray} ln(\sqrt{v(x)})=\frac 12\cdot ln(v(x)) \end{eqnarray}$
05.04.2012, 13:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass' Dich von den vielen Klammern nicht verwirren. Besser als Ché Netzer kann man es eigentlich nicht erklären. Wenn Dich das jedoch verwirrt, merke Dir einfach: "Äußere mal innere Ableitung" und gehe es einfach durch, was jeweils die äußere und die innere Ableitung ist.
05.04.2012, 13:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
@Matty: Zahlenwerte? Wie wäre es mit einem anderen Beispiel? $\begin{eqnarray} a(x)=\sin(\cos(\ln(x+1))) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\quad\sin'(\cos(\ln(x+1)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot\cos'(\ln(x+1))\cdot\ln'(x+1)\cdot(x+1)' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\cos(\cos(\ln(x+1)))\cdot(-\sin(\ln(x+1)))\cdot\frac1{x+1}\cdot1 \end{eqnarray}$ (Edit: Formatierung halbwegs verbessert) @Helferlein: Ja, aber auf diese Weise kann man die Kettenregel besser üben (auch wenn es sonst natürlich zu umständlich wäre). Außerdem bereiten die Logarithmengesetze ja auch immer wieder Probleme
05.04.2012, 13:41	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
hey leute ich glaube ich habs: $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac 1x \cdot \sqrt{sin(x+\frac{\pi}{4}) } \cdot \sqrt{cos(x+\frac{\pi}{4}) } \cdot \frac{1}{2 \cdot\sqrt{x}} \cdot 1 \end{eqnarray}$ Ist es so richtig? EDIT: Latexcode korrigiert, Helferlein
05.04.2012, 13:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, aber manche Ideen sind schon richtig... Die Ableitung von ln(x) ist zwar 1/x, aber hier steht ja nicht nur x als Argument im Logarithmus. $\begin{eqnarray} \ln'(\dots)=\frac1\dots\Rightarrow \ln(\sqrt{\dots})=\frac1{\sqrt{\dots}} \end{eqnarray}$ . Damit erhältst du den ersten Faktor, also g'(h(k(l(x)))) Danach multiplizierst du mit der Ableitung des inneren Ausdrucks, also von dem, was dann im Nenner steht, usw.
05.04.2012, 13:57	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{1}{\sqrt{sin(x+\frac{\pi}{4}) } } {\sqrt{sin(x+\frac{\pi}{4}) } }{\sqrt{cos(x+\frac{\pi}{4}) } } \frac{1}{2\sqrt{x} } 1 \end{eqnarray*}$ Ist es nun richtig? Edit(Helferlein): Latexcode wieder korrigiert. Bitte verwende nicht den Akzent, sondern den Strich über dem #, sonst klappt es nicht. Oder benutze den "Zitieren" Button, dann hast Du den Code direkt drin.
05.04.2012, 14:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht ganz. Der erste Faktor stimmt. Im zweiten wendest du aber die Ableitung der Wurzel auf $\begin{eqnarray} \sin(x+\tfrac\pi4) \end{eqnarray}$ an. Im dritten Faktor muss die Wurzel dann verschwinden, das ist ja nur noch die Ableitung dessen, was unter der Wurzel steht/stand. Der Bruch mit der Wurzel dahinter hat da nichts zu suchen, das 1 ist wiede richtig (als letzte innere Ableitung). [wobei ein 1 auch selten falsch ist ]
05.04.2012, 14:05	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wird das ja zu 1/2 * cos(x+pi/4)
05.04.2012, 14:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht ganz. Schreib nochmal die ungekürzte Ableitung auf, da fehlt nämlich noch etwas.
05.04.2012, 14:11	Matty	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel aus cos (x+Pi/4) Meinst du das?
05.04.2012, 14:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ganze Ableitung. Schreib doch nochmal jeden Faktor der Ableitung auf, ohne dabei irgendetwas zu kürzen. (Und der Cosinus steht hier nie unter einer Wurzel)

Neue Frage »

Antworten »

Ableiten mit kettenregel

Verwandte Themen