3.seitige Pyramide dimensionieren

04.04.2012, 19:32

Eismann

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3.seitige Pyramide dimensionieren

Meine Frage:
ich suche den Zuschnitt ( der Einfachheit halber aus "unendlich" dünner Pappe) zu einer speziellen dreiseitigen Pyramide.
Ich gebe den 4 Flächen mal Namen: Grundfläche G, Vorderfläche V und 2 Seitenflächen S1 und S2
Folgende Eigenschaften sind gefordert:
- der Rauminhalt soll 5 Liter sein
- S1 uns S2 sind kongruent
- S1 und S2 haben die Form eines Rechtwinkligen Dreiecks
- S1 und S2 stoßen mit ihrer Hypotenuse zusammen. Dort bilden sie einen rechten Winkel.
- G bildet V einen Winkel eine stumpfen Winkel von 105°

So, jetzt seid Ihr dran....

Das ganze ist keine Spassaufgabe, sondern ich benötige die Lösung für den Bau von Lautsprechergehäusen. Die beiden Seiten sind recht einfach zu bauen und die hintere Kante ist mit 90° ohne Gehrungsarbeit zu verleimen.

Gruß Dietmar

Meine Ideen:
Für die Seiten gilt der Pytagoras
Für den Rauminhalt gilt Grundfläche G x Lichte Höhe /6

04.04.2012, 21:46

Eismann

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RE: 3-seitige Pyramide dimensionieren
Zur besseren Vorstellung habe ich versucht, ein Modell aus Papier zu bauen.

die Abwicklung könnte etwa so aussehen:

[attach]23835[/attach]

Die ganze Pyramide von der Sicht auf S1 und S2:

[attach]23836[/attach]

Hier sieht man, dass zwar S1 uns S2 rechtwinklig zueineander stehen, aber schräg auf G auftreffen. Die Fläche G ist also ein spitzwinkliges Dreieck. Ich komme aber nicht dahinter, wie ich diesen "Verzerrwinkel" ausrechnen könnte. Die Breite von G ergibt sich noch aus den Höhen von S1/S2 * Wurzel(2).

Sicht auf V:

[attach]23837[/attach]

Bitte lade Bilder immer mit dem Schalter "Dateianhänge" hoch.
Danke, Gualtiero

Den Winkel von 105° kann man mit einem noch unbekannten Verhältnis der beiden kürzeren Seiten von S1 und S2 variieren.

Ich denke schon mehrere Tage über das Problem nach, komme aber nicht auf einen Lösungsansatz.
Gesucht sind also
die Gesamthöhe der Pyramide
die Höhe der Grundfläche
die Abmessungen der Katheten in S1 und S2

Gruß Dietmar

05.04.2012, 08:55

Gualtiero

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Zitat:

Für den Rauminhalt gilt Grundfläche G x Lichte Höhe /6

Du meinst wohl: V = G * H * 1/3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gilt ja die Volumenformel einer Pyramide, auch wenn sie schief ist.

Am leichtesten berechenbar scheint mir das Problem mit dem Spatprodukt zu sein, also über Vektoren. Aber es fehlt noch irgendeine Bedingung, so dass es nur eine Lösung gibt. Mit Deinen Angaben gibt es unendlich viele Möglichkeiten, und man muss selbst irgendwelche Stücke festlegen.

Eine dieser willkürlichen Lösungen wäre
- Grundfläche: Basis = 31.77cm, Schenkel = 24.70cm, Höhe = 18.92cm
- Seitenfläche: 59.46cm, 54.07cm, 24.70cm
- Höhe der Pyramide: 49.92cm

wobei ich mich in etwa an Dein Papiermodell gehalten habe. Die Maße sind auf Zehntelmillimeter gerundet, was denke ich genügt.

Edit: Sorry, sehe gerade, dass der Winkel nicht 105°, sondern 107° ist, und das ist doch zu ungenau. Ich hoffe, dass ich den Fehler finde.

Edit2: Werte verbessert; graphisch ermittelt.

05.04.2012, 12:22

Gualtiero

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Ich korrigiere mich - die Bedingungen sind doch ausreichend für eine Lösung, aber Rechenweg habe ich noch keinen; und ich denke, der ist nicht gerade einfach, denn selbst mit einem CAD-Programm war es mühsam genug.

Vielleicht weiß sonst jemand einen rechnerischen Ansatz.

05.04.2012, 19:38

Leopold

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Die beiden kongruenten Seitenflächen, die rechtwinklige Dreiecke sind, mögen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ als Katheten und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ als Hypotenuse haben, die Länge der verbleibenden Tetraederkante sei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich die folgenden Werte erhalten:

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 2 + \sqrt{3} + \sqrt{4 \sqrt{3} - 1} \right)} \cdot \sqrt[6]{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{3T} = 3{,}1541430561 \ldots \cdot \sqrt[3]{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 2 + \sqrt{3} - \sqrt{4 \sqrt{3} - 1} \right)} \cdot \sqrt[6]{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{3T} = 1{,}4466505282 \ldots \cdot \sqrt[3]{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \left( 2 + \sqrt{3} \right)^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3T} = 3{,}4700743752 \ldots \cdot \sqrt[3]{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 2 \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{3T} = 1{,}8596072530 \ldots \cdot \sqrt[3]{T} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist das vorgegebene Tetraedervolumen gemeint. Die Werte für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sind austauschbar. Im Anhang ein Netz des Tetraeders im Maßstab 1:5.

[attach]23846[/attach]

05.04.2012, 21:42

Eismann

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wow! Ich bin von Eurem Können und Wollen sehr beeindruckt! Danke vielmals.
Mit meinem Mathe-Halbwissen war ich irgendwann am Ende der Fahnenstange. So würde ich gerne von Leopold wissen, wie er darauf gekommen ist. Wahrscheinlich sind da einige Hilfsdreiecke zu betrachten, die alle ihre Wurzel(2)-Faktoren mit in die Lösung tragen.

@Gualtiero: Den Begriff Spatprodukt kannte ich noch, kann aber nichts mehr damit anfangen. Klärst du mich mal auf?

Falls es euch interessiert: der Grund für die Gehäuseform ist dieser:
3eckige Pyramiden lassen sich unter bestimmten Umständen leicht aus Holz bauen, deswegen die rechten Winkel. Sie haben keine parallelen Wände und der Schall bildet keine stehenden Wellen.
Die 105 Grad brauche ich aus folgendem Grund; die Box hat einen Konuslautsprecher oben einen Kalottenhochtöner in der Mitte und darunter wieder einen Konuslautsprecher (sogenannte d'appolito-Anordnung) Die Schwingspulen der Konustreiber liegen aber 20mm tiefer als die der Kalotte. Das würde Phasenfehler verursachen, weil dann auch die Schallentstehungsorte etwas gegeneinander versetzt wären.
Meine Lösung beinhaltet für jeden Konus eine 5l-Pyramidengehäuse, der obere mit der Spitze nach oben, der andere mit der spitze nach unten. Durch den Winkel kippt der obere Konus nach unten und der untere nach oben. Dadurch wird der Phasenunterschied ausgeglichen.
Die Schallwand hat also Ähnlichkeit mit einer Raute und die Gesamtform ähnelt einer Banane.

Meine Volumenformel war natürlich falsch. Ich meinte eigentlich Grundflächen-Breite mal Tiefe mal lichte höhe /6. Das hätte doch gepasst- oder?

Gruß Eismann, der das ganze nun in excel eingibt....und dann mit qcad die Lösung zeichnet.

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05.04.2012, 21:46

Eismann

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Ich sehe aber gerade leopold, dass a und b gleiche terme haben, aber unterschiedliche Konstanten. Da stimmt etwas nicht.

05.04.2012, 21:56

opi

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Ein kleiner Unterschied zwischen a und b ist vorhanden. Genau hinschauen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.04.2012, 22:43

Eismann

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Ja, jetzt sehe ich den Unterschied auch....Danke opi

Eismann

06.04.2012, 10:51

Gualtiero

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Zitat:

Original von Eismann
Meine Volumenformel war natürlich falsch. Ich meinte eigentlich Grundflächen-Breite mal Tiefe mal lichte höhe /6. Das hätte doch gepasst- oder?

Ja, so stimmt es natürlich.

Und zur anderen Frage nach dem Spaltprodukt (SP) nur ein paar kurze Erklärungen, weil das in jedem Lehrbuch oder auf Wikipedia gründlicher erklärt ist.
Das SP ist eine Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt und dient zur Bestimmung des Volumens von Tetraedern bzw. Pyramiden mit dreiseitiger Grundfläche; es ergibt das Sechsfache des Körpervolumens.
Das Kreuzprodukt ist eine Verknüpfung von zwei Vektoren, wobei das Ergebnis wieder ein Vektor ist mit der schönen Eigenschaft, dass er zu jedem der beiden Vektoren senkrecht steht.
Das Skalarprodukt ist ebenfalls eine Vektorverknüpfung, das Ergebnis ist aber eine Zahl, und zwar das Produkt der beiden Vektor-Beträge (=Länge) und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.

Damit wollte ich ansetzen und arbeite noch immer dran. Und zwar lege ich den Körper so ein ein Koordinatensystem, dass er mit der Hypotenuse der beiden Seitenflächen in der z-Achse und mit der einen Ecke der Grundfläche im Koordinatenursprung liegt, und dabei im ersten Oktanten liegt. Meine drei Vektoren gehen jeweils vom Ursprung (O) zu den Punkten A, B und C.
Mit dem Skalarprodukt der beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MO} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MC} \end{eqnarray*}$ , die den Winkel von 105° einschließen, hoffe ich eine Beziehung zwischen x- und z-Koordinaten von Punkt A (bzw. B) zu finden. Mal sehen.

Das ist mein Gedankenmodell:

[attach]23851[/attach]

Edit: Spaltprodukte fallen beim atomaren Zerfall an; hier geht es natürlich um das Spatprodukt.

06.04.2012, 22:10

Eismann

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Hallo Gualtiero,
da wirst Du noch Schwierigkeiten bekommen, bis Du in das Modelll auch die lichte Höhe eingebaut hast.

Mittlerweile habe ich ohne Vektorrechnung aber mit Algebra und Gleichungssystem eine Herleitung gefunden, die sich im 2D-CAD-System bestätigte:
Da ich das ganze in Word aufgezeichnet hatte erlaube ich mir das ganze aus Word ohne die Nutzung des Latex editor einzufügen.
Eine wesentlicher Punkt war die Abwicklungskizze von Leopold. Dort habe ich lediglich noch eine Seitenansicht hinzugefügt, der den Zusammenhang mit Höhe und Überhangswinkel darstellt. Aus den 105° mache ich jetzt also 15°.

Gleichungssystem:
I. tan(15) = p/ h
II. g + p = t
III. t² + h² = c²
IV. c²=a² + b²
V. (d/2)² + g² = a²
VI. (d/2)² + v² = b²
VII. p² + h² = v²
VIII. V= g * d / 6 *h

II einsetzen in III, um t zu eliminieren
IIIa : (g+p)² + h² = c²

III gleich IV, um c zu eliminieren
IIIb: (g+p)² + h² = a² + b²

nach a² auflösen
IIIc: a²= (g+p)² + h² -b²

I nach p auflösen und in IIIb einsetzen um p zu eliminieren
Ia p= tan(15) *h
IIId a²= (g+( tan(15) *h))² + h² -b²
___________

V und VI jeweils nach (d/2)² auflösen und dann gleichsetzen
Va (d/2)² = a² - g²
VIa (d/2)² = b² - v²
VIb a² - g² = b² - v²

VII nach v² auflösen, um sie dann in VIb einzusetzen -> v² eliminieren.
v² = p² + h²
VIc a² = b² - p² - h² + g²

VIII nach g auflösen und in VIc einsetzen
g= 6V/h/d
VId a² = b² - p² - h² + (6V/h/d)²

Ia in VId einsetzen um p² zu eliminieren.
VIe a² = b² - (tan(15) *h)² - h² + (6V/h/d)²
VIe und IIId gleichsetzen
b² - (tan(15) *h)² - h² + (6V/h/d)² = (g+( tan(15) *h))² + h² -b²
2 b² = (g+( tan(15) *h))² +(tan(15) *h)²+ 2h² - (6V/h/d)²
b = SQRT( [g² + 2g*tan(15)*h + 2(tan(15)*h)² + 2h² - (6V/h/d)² ]/2)

mit dieser Formel kann ich nun
den Winkel (15), g, h, und d vorgeben und erhalte b
Danach kann ich a berechnen mit
Gleichung V (d/2)² + g² = a²
a= SQRT(d/2)² + g² )

07.04.2012, 12:33

Leopold

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Ich sehe nur nicht, wo du ausnutzt, daß die beiden rechtwinkligen Seitendreiecke senkrecht aufeinander stehen. Ansonsten kann ich deine Rechnung nachvollziehen.

Ich habe es folgendermaßen angestellt. Die Bezeichnungen entnehme ich aus meinem vorigen Beitrag.

Es sei $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ die Höhe von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in den rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ . Da diese beiden Dreiecke senkrecht aufeinander stehen, ist das Dreieck aus den beiden Höhen $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und der Seite $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ gleichschenklig-rechtwinklig, womit $\begin{eqnarray*} w = \sqrt{\frac{1}{2}} d \end{eqnarray*}$ gilt. Zudem ist $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ auch Tetraederhöhe, wenn man eines der beiden rechtwinkligen Dreiecke als Grundfläche auffaßt. Somit gilt für das Tetraedervolumen $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} T = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} cw \cdot w \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ T = \frac{1}{12} cd^2 \end{eqnarray*}$

Berechnet man den Flächeninhalt der rechtwinkligen Dreiecke auf zwei Weisen, erhält man $\begin{eqnarray*} ab = cw \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ ab = \sqrt{\frac{1}{2}} cd \end{eqnarray*}$

Die Rechtwinkligkeit der Dreiecke impliziert

$\begin{eqnarray*} \text{(3)} \ \ a^2 + b^2 = c^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt noch die Bedingung mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{7}{12} \pi \end{eqnarray*}$ , den die beiden gleichschenkligen Seitendreiecke miteinander einschließen. In diesen Dreiecken seien $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ die Höhen zur Basis $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Schenkellänge ist. Mit Pythagoras folgen $\begin{eqnarray*} u^2 = a^2 - \left( \frac{1}{2} d \right)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v^2 = b^2 - \left( \frac{1}{2} d \right)^2 \end{eqnarray*}$ . Der Cosinussatz im Dreieck mit den Seiten $\begin{eqnarray*} c,u,v \end{eqnarray*}$ führt auf

$\begin{eqnarray*} c^2 = u^2 + v^2 - 2uv \cos \delta = a^2 + b^2 - \frac{1}{2} d^2 - 2uv \cos \delta \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ vereinfacht sich das zu

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \frac{1}{2} d^2 + 2uv \cos \delta = 0 \end{eqnarray*}$

Die konkrete Größe von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wurde noch gar nicht verwendet. An der letzten Gleichung kann man aber ablesen, daß der Cosinuswert negativ, mithin $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ stumpf sein muß.
Für das Produkt $\begin{eqnarray*} u^2 v^2 \end{eqnarray*}$ berechnet man mit den Pythagoras-Gleichungen von oben

$\begin{eqnarray*} u^2 v^2 = a^2 b^2 - \frac{1}{4} \left( a^2 + b^2 \right) d^2 + \frac{1}{16} d^4 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ folgt hieraus $\begin{eqnarray*} uv = \frac{1}{4} d \sqrt{4c^2 + d^2} \end{eqnarray*}$ . Das setzt man in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ ein und bekommt

$\begin{eqnarray*} \text{(4)} \ \ d + \sqrt{4c^2 + d^2} \cdot \cos \delta = 0 \end{eqnarray*}$

Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(4)} \end{eqnarray*}$ erlauben die Berechnung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Die Werte sind

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt[3]{3 T \tan^2 \delta} \, , \ \ d = 2 \sqrt[3]{3T \left| \cot \delta \right|} \end{eqnarray*}$

Diese Werte setzt man in die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ ein. Die beiden Gleichungen enthalten dann nur noch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Man findet so:

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = \sqrt[3]{9T^2 \tan^4 \delta} \, , \ \ a^2 b^2 = 6 \sqrt[3]{3 T^4 \tan^2 \delta} \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Vieta sind $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ die Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 - \sqrt[3]{9T^2 \tan^4 \delta} \cdot x + 6 \sqrt[3]{3 T^4 \tan^2 \delta} = 0 \end{eqnarray*}$

Als Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ findet man damit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left( \left| \tan \delta \right| \pm \sqrt{\tan^2 \delta - 8} \right)} \cdot \sqrt[6]{\left| \tan \delta \right|} \cdot \sqrt[3]{3T} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} T = \frac{1}{3} Gh \end{eqnarray*}$ kann man jede Pyramidenhöhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ über die zugehörige Grundfläche $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ berechnen. Die Maße sämtlicher Seitendreiecke sind ja mittlerweile bekannt.
Die Formel zeigt auch, daß es für den stumpfen Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eine Beschränkung nach oben gibt. Es ist ja $\begin{eqnarray*} \tan^2 \delta \geq 8 \end{eqnarray*}$ vorauszusetzen, was auf $\begin{eqnarray*} \delta \leq 109{,}47^{\circ} \end{eqnarray*}$ führt. Das ist der "berühmte" Winkel, unter dem sich die Raumdiagonalen eines Quaders schneiden. Er ist zugleich der Winkel im CH4-Molekül.

08.04.2012, 11:52

Eismann

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Zitat:

Original von Leopold
Ich sehe nur nicht, wo du ausnutzt, daß die beiden rechtwinkligen Seitendreiecke senkrecht aufeinander stehen.

Genau. Das hatte ich vergessen. Das führte dazu, dass ich bei der Prüfung in der CAD-Skizze immer verschiedene g-Werte hatte.... verwirrt

verwirrt

Auch die Berücksichtung des Winkel delta fehlte in den ersten Versionen. Mit der notwendigen eingrenzung hatte ich so eine Gefühl, aber keinen brauchbaren Denkansatz.
Vorab schon einmal vielen Dank für Deine Überlegungen.

Eismann

08.04.2012, 13:07

Gualtiero

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Wieder mal ein druckreifer Beitrag von Leopold, würde mich nicht wundern, wenn er in einem Mathelehrbuch veröffentlicht würde. Freude

Freude

Zitat:

Original von Eismann
Hallo Gualtiero,
da wirst Du noch Schwierigkeiten bekommen, bis Du in das Modelll auch die lichte Höhe eingebaut hast.

Naja, Schwierigkeiten hatte ich, aber das lag nicht an meinem Ansatz, sondern an meiner Schusseligkeit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ich die Koordinaten des Körpers bestimme, kann ich alles berechnen, nicht nur die "lichte Höhe".

Der Vollständigkeit halber auch mein Rechenweg, der aber komplizierter und nicht so durchgängig mathematisch ist. Vielleicht läßt sich das ja noch verfeinern. verwirrt

verwirrt

Es gelten die Punktbezeichnungen in meiner Skizze und die Seitenbezeichnungen wie in den anderen Beiträgen:
A (x 0 z)
B (0 x z)
C (0 0 s)
M (x/2 x/2 z)

Die zu einem Punkt gehörenden Ortvektoren bezeichne ich gleichnamig und kleingeschrieben.
1LE = 1dm

Wie schon angedeutet, möchte ich vorerst einen Körper erstellen, der die drei Bedingungen
- 1. Deckfläche und Vorderseite schließen einen Winkel von 105° ein
- 2. Die Strecken OA, AC und OC bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse OC.
- 3. Die beiden Seitenflächen stehen rechtwinklig zueinander, was durch die Wahl der Punkte A und B schon gegeben ist.

Im Laufe der Berechnung hat sich herausgestellt, dass es dafür unendlich viele Lösungen gibt und man einen Koordinatenwert frei wählen muss.
Ich bin von z = 4 ausgegangen.

Die Bedingung 1 drücke ich mit dem Skalarprodukt aus:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{MC}=|\overrightarrow{MO}| \cdot |\overrightarrow{MC}| \cdot \cos 105° \end{eqnarray*}$

Umgestellt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)}\quad \frac{\frac{x^2}{2}+16-4s}{\sqrt{\frac{x^2}{2}+16} \cdot \sqrt{\frac{x^2}{2}+s^2-8s+16}}=\cos105° \end{eqnarray*}$

Bedingung 2 gebe ich mit Pythagoras wieder.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{x^2+16}_{a^2}+\underbrace{x^2+s^2-8s+16}_{b^2}=\underbrace{s^2}_{c^2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x^2=4s-16 \end{eqnarray*}$

Das eingesetzt in (1) führt schließlich zu einer Gleichung dritter Ordnung, die leider nur mit Näherungsverfahren lösbar ist.
p = (cos 105°)²

$\begin{eqnarray*} 2ps^3 - (4p+4)s^2 - (32p - 32)s + 64p - 64 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich erhalte damit
s = 23,0149612 . . .
x = 8,7212295 . . .
z = 4 war die Annahme

Damit sind alle Ortsvektoren bestimmt, das vorläufige Volumen ist laut Spatprodukt:

$\begin{eqnarray*} V'=\frac{1}{6} \cdot \left[\vec{a} \times \vec{b}\right] \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$

Das führt zum formal nicht unhübschen Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot sx^2=291,75239 . . . \end{eqnarray*}$

Die Vektoren müssen jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{5}{V'}} \end{eqnarray*}$ skaliert werden, um das Volumen 5dm³ zu erhalten.

08.04.2012, 14:06

Leopold

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$\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{p} \cdot \left( 1 - p + \sqrt{(1-p)(1-9p)} \right) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2012, 18:27

Eismann

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Zitat:

Original von Leopold
Berechnet man den Flächeninhalt der rechtwinkligen Dreiecke auf zwei Weisen, erhält man $\begin{eqnarray*} ab = cw \end{eqnarray*}$ ,

die Dreieckfläche mit $\begin{eqnarray*} cw \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kannte ich nocht nicht. OK, Ich lerne noch dazu. geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} c^2 = u^2 + v^2 - 2uv \cos \delta = a^2 + b^2 - \frac{1}{2} d^2 - 2uv \cos \delta \end{eqnarray*}$

ich glaube hinter dem Gleichheitszeichen fehlt ein Faktor 2, weil für jeden Schenkel ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} d^2 \end{eqnarray*}$ dazu kommt. Ansonsten eine sehr gute Idee!

Alles weitere muss ich später nach vollziehen, wir bekommen jetzt Besuch....

Gruß Eismann

08.04.2012, 18:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eismann
die Dreieckfläche mit $\begin{eqnarray*} cw \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kannte ich nocht nicht.

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \mbox{Flächeninhalt} = \frac{1}{2} \cdot \mbox{Grundseite} \cdot \mbox{Höhe} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Eismann
ich glaube hinter dem Gleichheitszeichen fehlt ein Faktor 2, weil für jeden Schenkel ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} d^2 \end{eqnarray*}$ dazu kommt.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \left( \frac{1}{2} d \right)^2 = \frac{1}{2} d^2 \end{eqnarray*}$

09.04.2012, 10:41

Gualtiero

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@Eismann, sorry, dass ich Deinen Thread für eine Zwischenfrage benütze. Lass Dich aber nicht weiter aufhalten.

@Leopold, diese Definition von s

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{p} \cdot \left( 1 - p + \sqrt{(1-p)(1-9p)} \right) \end{eqnarray*}$

ist mir nicht klar: Hast Du das aus meiner Gleichung abgeleitet? Ich komme nicht dahinter.

In Deinem Rechenweg kommt ebenfalls eine Beziehung zwischen c (mein s ist ja c) und dem Winkel von 105° vor:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt[3]{3 T \tan^2 \delta} \end{eqnarray*}$

Aber hier ist auch das Volumen des Tetraeders enthalten, was ich ja noch nicht kenne.
Auch der Versuch, tan² durch (1/cos²) - 1 zu ersetzen, hilft da nicht. verwirrt

verwirrt

Danke jedenfalls.

09.04.2012, 11:34

Leopold

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Zitat:

Original von Gualtiero
@Leopold, diese Definition von s

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{p} \cdot \left( 1 - p + \sqrt{(1-p)(1-9p)} \right) \end{eqnarray*}$

ist mir nicht klar: Hast Du das aus meiner Gleichung abgeleitet? Ich komme nicht dahinter.

Ja, das kommt bei deiner Gleichung heraus.

Zitat:

Original von Gualtiero

Zitat:

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt[3]{3 T \tan^2 \delta} \end{eqnarray*}$

Aber hier ist auch das Volumen des Tetraeders enthalten, was ich ja noch nicht kenne.

Das Volumen des Tetraeders ist doch bekannt: $\begin{eqnarray*} T = 5000 \end{eqnarray*}$ (in cm³). Da bin ich jedenfalls die ganze Zeit davon ausgegangen.

09.04.2012, 14:44

Eismann

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Zitat:

Original von Leopold

Mit $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ folgt hieraus $\begin{eqnarray*} uv = \frac{1}{4} d \sqrt{4c^2 + d^2} \end{eqnarray*}$ . Das setzt man in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ ein und bekommt.

und hier hat mich Leopold ein 2. Mal abgehängt..wie kombinierst Du denn die beiden Formeln (2) und (3) mit der UV-Formel? verwirrt

verwirrt

Die Sache mit dem Faktor 2 habe ich erkannt- mein Fehler.

Gruß
Eismann

09.04.2012, 14:51

Leopold

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$\begin{eqnarray*} a^2 b^2 \end{eqnarray*}$ kann nach $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} c^2 d^2 \end{eqnarray*}$ ersetzt werden und $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \text{(3)} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ . Dann vereinfachen und Wurzel ziehen. Das liefert das Produkt $\begin{eqnarray*} uv \end{eqnarray*}$ nur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

12.04.2012, 15:58

Eismann

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Alles klar...

ich möchte mich hiermit nochmals für die hervoragende Unterstützung bedanken.

..und werde diese heiligen Hallen der Mathematik jetzt wieder verlassen.

Gruß Eismann

08.10.2012, 20:37

Eismann

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Nochamls vielen Dank und ein optisches Feedback
Eure Beiträge - insbesondere den Lösungsansatz von Leopold - habe ich mittlerweile in Holz umgesetzt. Neben den Pyramiden sind natürlich noch einige andere Geometrische Formen verwendet worden, die ich aber schon alleine lösen konnte.
Aber seht selbst:

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