Termumformung, Bruchterm mit Potenzen

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04.04.2012, 19:33	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung, Bruchterm mit Potenzen Hallo! Wie kommt man von $\begin{eqnarray} \frac{64a^{15}+27b^6}{4a^3+3b^2} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} 16a^{10}-12a^5b^2+9b^4 \end{eqnarray}$ ? Ich habe den Term schon folgendermaßen umgeformt: $\begin{eqnarray} \frac{(4a^5)^3+(3b^2)^3}{4a^5+3b^2} \end{eqnarray}$ Aber hier weiß ich nicht weiter, da ich ja nicht einfach aus Summen kürzen kann. Ich hab auch schon versucht den Zähler irgendwie zu faktorisieren, so dass ich etwas kürzen kann, aber auch das ist mir nicht gelungen. Ich bin dankbar für jede Hilfe.
04.04.2012, 19:41	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo LonZealot, Wenn der Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{64a^{15}+27b^6}{4a^{\color{red}5}+3b^2} \end{eqnarray}$ heißt (4a hoch 5 im Nenner), dann kommst du drauf. Setze $\begin{eqnarray} u=4a^5 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v=3b^2 \end{eqnarray}$
04.04.2012, 19:42	Sherlock Holmes	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach dividieren und Potenzgesetz.
04.04.2012, 19:44	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Ausdruck heißt $\begin{eqnarray} \frac{64a^{15}+27b^6}{4a^5+3b^2} \end{eqnarray}$ , war ein Tippfehler.
04.04.2012, 19:46	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde $\begin{eqnarray} 16a^{10}-12a^5b^2+9b^4 \end{eqnarray}$ jetzt mit u und v ausdrücken (s.o.) und dann mit dem Nenner multiplizieren. Mit binomischen Formeln komst du dann auf den Zähler.
04.04.2012, 20:03	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, $\begin{eqnarray} 16a^{10}-12a^5b^2+9b^4 \end{eqnarray}$ mit u und v ausgedrückt ist $\begin{eqnarray} (4a^5-3b^2)^2+4a^53b^2 \end{eqnarray}$ . Dann müsste der Zähler $\begin{eqnarray} (4a^5-3b^2)^2(4a^5+3b^2)+12a^5b^2(4a^5+3b^2) \end{eqnarray*}$ sein.
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04.04.2012, 20:14	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Drücke $\begin{eqnarray} 16a^{10}-12a^5b^2+9b^4 \end{eqnarray}$ mal mithilfe der 2. binomischen Formel aus. Den Anfang hast du ja schon gehabt. Tipp: Es ist wirklich einfacher, auch als u und v zu schreiben als diese Mammutausdrücke!!
04.04.2012, 20:31	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} u=4a^5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=3b^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} 16a^{10}-12a^5b^2+9b^4=u^2-uv+v^2 \end{eqnarray}$ . Aber da kann ich ja nicht die 2. binomische Formel anwenden, da es dann $\begin{eqnarray} u^2-2uv+v^2 \end{eqnarray}$ sein müsste, oder steh ich auf dem Schlauch?
04.04.2012, 20:40	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! $\begin{eqnarray} u^2-uv+v^2 \end{eqnarray}$ ist auch der Ausdruck den wir brauchen. Multipliziere mal $\begin{eqnarray} u^2-uv+v^2 \end{eqnarray}$ mit dem Nenner u+v. Dann hast du es schon.
04.04.2012, 20:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man vom Ausgangsterm auf die rechte Seite kommen will, wäre nichts anderes nötig gewesen, als eine einfach Polynomdivision . Ob man das nun mit Substitution macht oder ohne ist dabei nicht nennenswert schwieriger.
04.04.2012, 21:01	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
@thk: Okay, dann komme ich auf $\begin{eqnarray} u^3+v^3 \end{eqnarray}$ , also meinen ursprünglichen Zähler, danke. @Equester: Polynomdivision? Hab ich noch nie gemacht, liegt wohl daran, dass wir ab der 11ten nur noch ein CAS benutzt haben. Deswegen bin ich auch was Termumformungen angeht, etwas eingerostet.
04.04.2012, 21:07	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vergiss meinen Vorschlag. Aber wenn man das bis zur 11ten nicht gemacht, wann dann .
04.04.2012, 21:41	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich hab mir das mit der Polynomdivision mal angeguckt, wenn ich das richtig verstehe, müsste es doch so funktionieren: $\begin{eqnarray} u=4a^5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=3b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (u^3+v^3)/(u+v)=u^2-uv+v^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(u^3+u^2v) \end{eqnarray}$ ---------------------------- $\begin{eqnarray} -u^2v+v^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +(u^2v+uv^2) \end{eqnarray}$ ---------------------------- $\begin{eqnarray} uv^2+v^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(uv^2+v^3) \end{eqnarray}$ ---------------------------- $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (Tschuldigung, ich weiß nicht wie man bei LaTeX einrückt.)
04.04.2012, 21:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann ich bestätigen
04.04.2012, 21:59	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, besten Dank für die Hilfe.
04.04.2012, 22:01	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich spreche auch für thk, wenn ich sage: Gerne .
04.04.2012, 22:26	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar. Multiplikation ist ja irgendwie Division rückwärts
04.04.2012, 22:29	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt nur ein Problem, wenn man das Ergebnis nicht hätte . Deswegen meine Zusatzbemerkung .

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