Berührbedingung des Kreises herleiten

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150ml Auf diesen Beitrag antworten »
Berührbedingung des Kreises herleiten
Meine Frage:
Die Berührbedinung des Kreises für eine Tangente lautet (kxM ? yM + d)² = r²·(k² + 1) bzw. für einen Kreis in 1. Hauptlage d²= (k² + 1)
Doch wie wird diese hergeleitet?

Meine Ideen:
Ich habe gelesen, dass man das mit der Hesse'schen Normalform herleiten kann, nur ist mir nicht ganz klar wie.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berührbedingung des Kreises herleiten
Zitat:
Original von 150ml
Meine Frage:
Die Berührbedinung des Kreises für eine Tangente lautet (kxM ? yM + d)² = r²·(k² + 1) bzw. für einen Kreis in 1. Hauptlage d²= (k² + 1)
Doch wie wird diese hergeleitet?

Meine Ideen:
Ich habe gelesen, dass man das mit der Hesse'schen Normalform herleiten kann, nur ist mir nicht ganz klar wie.


zuerst schreibe den plunder einmal korrekt her, dann betrachte die greade, den kreis und die diskriminante der quadratischen "schnitt"gleichung
 
 
150ml_ Auf diesen Beitrag antworten »
uups
Statt dem fragezeichen muss natürlich ein minus eingesetzt werden, aber sonst stimmt laut meinem mathelehrer alles,
also:

(kxM - yM + d)² = r²·(k² + 1)


und für den Kreis in 1. HL (hat vorher das r² gefehlt):

d²= r² (k² + 1)


meinst du mit determinante r²(k² + 1) ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: uups
Zitat:
Original von 150ml_
Statt dem fragezeichen muss natürlich ein minus eingesetzt werden, aber sonst stimmt laut meinem mathelehrer alles,
also:

(kxM - yM + d)² = r²·(k² + 1)


und für den Kreis in 1. HL (hat vorher das r² gefehlt):

d²= r² (k² + 1)


meinst du mit determinante r²(k² + 1) ?

2 blinde verwirrt

beginnen wir mit



nun setzt du y aus g in k ein und schreibst das einmal her
150ml_ Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann:

x² + (kx + d)² = r²

und jetzt muss ich wohl so umformen, dass ich auf
d² = r²(k² + 1) komme... aber auch wenn ich noch so lange probiere, komm ich nicht drauf....

unglücklich kannst du mir vl. noch einen tipp geben?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 150ml_
das wäre dann:

x² + (kx + d)² = r²

und jetzt muss ich wohl so umformen, dass ich auf
d² = r²(k² + 1) komme... aber auch wenn ich noch so lange probiere, komm ich nicht drauf....

unglücklich kannst du mir vl. noch einen tipp geben?


daraus folgt für die schnittpunkte der geraden mit dem kreis:



jetzt löse die quadratische gleichung und beachte, dass es NUE EINE lösung gibt, da g tangente ist.
das bedeutet, dass die diskriminante = das zeug unter der wuzrel 0 ist.

jetzt bist du wieder dran
150ml_ Auf diesen Beitrag antworten »

okay, jetzt hab ichs...

also schreib ich dann weiter:

x = -(dk)/(1 + k²) +/- wurzel( (dk/(1 + k²))² - (d² - r²)/(1 + k²) )

dann nehm ich eben die diskriminante

(dk/(1 + k²))² - (d² - r²)/(1 + k²) und setzte sie gleich 0:

0 = (dk/(1 + k²))² - (d² - r²)/(1 + k²)

und wenn ich dann weiter umforme, komm ich irgendwann mal auf

d² = r² (1 + k²)

DANKESCHÖN!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

gerne geschehen.

so einfach geht´s halt auch, wenn du meinen obigen beitrag zu hilfe nimmst



ausmultiplizieren und schon bist du fertig Augenzwinkern
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