unbestimmtes Integral

04.04.2012, 21:01

EDL

unbestimmtes Integral

Meine Frage:
Hallo ich soll folgendes unbestimmtes Integral lösen
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich wollte die Partialbruchzerlegung anwenden, tue mich aber etwas schwer. Ich erhalte dann $\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-2)} + \frac{B}{(x-i)} + \frac{C}{(x+i)} \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} A(x^2+1), B(x^2-2x+ix-2i), C(x^2-2x-ix+2i) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x^2(A+B+C), x(-2B-2C), 1A, ix(B-C), i(-2B+2C) \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} 2 = A+B+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 = -2B-2C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 13 = A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= B-C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= -2B+2C \end{eqnarray*}$
Also müsste $\begin{eqnarray*} B=C= 5,5 \end{eqnarray*}$ sein
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{13}{(x-2)} + \frac{5,5}{(x-i)} + \frac{5,5}{(x+i)} \end{eqnarray*}$ .
Dann wäre das Integral $\begin{eqnarray*} 13ln(x-2)+\frac{11ln(x-i)}{2}+\frac{11ln(x+i)}{2}+C \end{eqnarray*}$ .

Wo ist mein Fehler. danke für Eure Hilfe

04.04.2012, 21:52

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von EDL
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^{\color{red}2 \color{black}}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Dieses Quadrat hast du anscheinend ignoriert - oder ist es hier schon ein Schreibfehler und es gehört da nicht hin?

Falls es da tatsächlich hingehört, wird es eine etwas lange Rechnung, nunja. Von der Zerlegung in Linearfaktoren würde ich die Finger lassen - bleib im Reellen! Verwende den Ansatz wie gehabt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2} = \frac{a}{x-2} + \frac{bx+c}{x^2+1}+ \frac{dx+e}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Kontrollergebnis:

$\begin{eqnarray*} a=1, b=-1,c=-2,d=-3,e=-4 \end{eqnarray*}$

05.04.2012, 07:46

EDL

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RE: unbestimmtes Integral
Hallo, diesen Ansatz kenne ich nicht. Könntest Du mir das $\begin{eqnarray*} bx+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx+c \end{eqnarray*}$ bitte erläutern?
Danke

05.04.2012, 07:51

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \frac{bx+c}{x^2+1}+ \frac{dx+e}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ ist lediglich die reelle Form des ansonsten nötigen komplexen Ansatzes

$\begin{eqnarray*} \frac{b'}{x+i} + \frac{c'}{(x+i)^2} + \frac{d'}{x-i} + \frac{e'}{(x-i)^2} \end{eqnarray*}$

mit anderen, i.d.R. echt komplexen Konstanten $\begin{eqnarray*} b',c',d',e' \end{eqnarray*}$ .

05.04.2012, 10:17

original

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RE: unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von EDL
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^{\color{red}2 \color{black}}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Dieses Quadrat hast du anscheinend ignoriert - oder ist es hier schon ein Schreibfehler und es gehört da nicht hin?

Falls es da tatsächlich hingehört...

und - wenn es nicht smile

hingehört, hat EDL drei einfache reelle Integrale zu lösen, denn dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{5}{x-2} - \frac{3x+4}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Prost

05.04.2012, 14:49

EDL

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Hallo, doch es ist schon korrekt. Die Nullstellen sind $\begin{eqnarray*} 2, i, -i, i, -i \end{eqnarray*}$ .
D.h. ich habe jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x-2}+\frac{b'}{x+i}+\frac{c'}{(x+i)^2}+\frac{d'}{x-i}+\frac{e'}{(x-i)^2} \end{eqnarray*}$ zu lösen bzw. die reellen Integrale $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-2}+\frac{-x-2}{x^2+1}+\frac{-3x-4}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ ?

05.04.2012, 15:48

klarsoweit

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So ist es. smile

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