lin. part. DGL

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Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
lin. part. DGL
hallosmile
es seinen b und c stetig diffbare fkten. dann sein x: I->R^n eine lsg der gew. DGL x'(s)=b(x(s)) und u eine lsg der homogenen lin. part. DGL
.

zeige, dass dann die fkt die gew. DGL löst.

hat jemand ne idee für den ansatz??
danke
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Wenn ich mich nicht vertan habe, ist es einfach nur ableiten und fleißig die oberen Identitäten benutzen.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
also ich hab ja z(s)=u(x(s))



so? aber wie weiter?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Damit hast du eine der 2 Gleichungen benutzt, die dir zur Verfügung stehen. Wie wärs mit der zweiten?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
ja daran hab ich auch schon gedacht, aber ich weiß nicht, wie ich sie einsetzen soll bzw. ich muss sie ja umformen, damit ich sie für irgendwas einsetzen kann....
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Dann form um...
 
 
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
nach was?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Du hast die folgende Gleichung gegeben:
.
das taucht bei dir auf:

Wenn man sich überlegt, warum die beiden kommutieren, und die Ableitung "sauberer" aufschreibt ist es genau der erste Summand, ausgewertet an x(s). D.h. danach auflösen.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
ich weiß grad nicht, wie ich das umschreiben kann. geht das so?
z'(s)=u'(s)*x(s)*b(s)+x(s)
und dann halt nach x(s) auflösen, aber kann man das so umformen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Du hast
und .

Wir ziehen bei der zweiten Gleichung c(x)u(x) ab, und setzen für x den "Punkt" x(s) ein und erhalten


Also haben wir , was wir haben wollen ist - wie bekommen wir das hin?
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
es gilt ja z(s)=u(x(s))
das setzen wir in die gleichung ein ,
also

und das wollten wir haben. stimmt das so?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lin. part. DGL
Jop, das stimmt.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

dankesmile
ich hab noch ne andere teilaufgabe, bei der ich auch nicht weiter komm.

zeige in verallgemeinerung zur vorherigen aufgabe, dass sich für eine part. DGL die in der methode d. charakteristik auftretenden kurvesn x(s) und z(s)=u(x(s)) schon dann durch gew-DGL ohne verwendung von beschreiben lassen, wenn die fkt F(p,z,x) linear von p abhängt, d.h. wenn F von der form F(p,z,x)=b(z,x)+p+c(z,x) mit stetif diffbarem b und c ist.

hast du auch hier einen tipp für mich?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »



Du hast den Ansatz, mal wieder das gleiche Spiel, du willst nur char. Kurven betrachten, also kannst du x durch die Kurve x(s) beschreiben. Dann gibt es viele Identitäten, die du benutzen kannst. Sehe diesmal das Ergebnis nicht direkt, aber scheint ein guter Weg zu sein.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »


bei dieser gleichung hab ich mich vertippt.

muss heißen


wenn ich die x durch x(s) ersetze, bekomm ich


oder muss ich alles in abhängigkeit von s machen? dann wäre nämlich der hintere summand -z'(s)...
ansonsten weiß ich grad nicht, was ich machen könnte..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin recht sicher genau aufgeschrieben müsste es


Und beim einsetzen von x=x(s) schaut es dann ein wenig anders aus.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

also hab ich dann



aber ich kann immer noch nichts einsetzen??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich hatte gerade ein wenig die Übersicht verloren.



Es muss tatsächlich so heißen. Denn du willst ja



betrachten. D.h. F wertet die Funktion u schon punktweise aus, und so bekommt b nur einen reellen Wert. "War also doppeltausgewertet".

Nun kannst du die "richtigen" Argumente einsetzen, beachten, dass du dort 0 rausbekommen haben willst, und nun heißt es gucken was man daraus machen kann. Weiter seh ichs gerade leider nicht.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »


jetzt könnt ich ja x durch x(s)


jetzt z(s)=u(x(s)) einsetzen???
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest erst einmal etwas vereinfachen, dann kannst du es einsetzen.
Susi101 Auf diesen Beitrag antworten »

dann hab ich



kann man noch was vereinfachen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht denken wir hier gerade zu kompliziert.

Wir wollen x(s) und z(s) durch gewöhnliche Differentialgleichungen darstellen. Wir haben eine in p affine Gleichung gegeben, d.h. wir haben eine Steigung und einen y-Achsenabschnitt.

Das riecht schon einmal nach einer Differentialgleichung, und das ganze ohne p. D.h. wir werden z(s) damit ausdrücken können, und x(s) sollte auch noch eine erfüllen. Das ganze mit Char. Kurven ist bei mir auch leider schon ein wenig her und war nie detalliert.

Ich hoffe damit kommst du erst einmal weiter. Ich muss dann leider für heute auch schon weg.
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