Zeitreihe und Probleme mit Umformung

05.04.2012, 13:00	Rekursion	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeitreihe und Probleme mit Umformung Hallo, ich habe Probleme mit dem Verständnis folgender Umformung. Gegeben ist eine Zeitreihe. Der aktuelle Wert der Zeitreihe an der Stelle $\begin{eqnarray} t_k \end{eqnarray}$ wird als $\begin{eqnarray} y(t_k) \end{eqnarray}$ bezeichnet. Zur Prognose nimmt man folgenden Algorithmus $\begin{eqnarray} (I) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \widehat y (t_{k+1}) = (1-\alpha)y(t_k)+\alpha\widehat y(t_k) \end{eqnarray}$ mit Initialisierung $\begin{eqnarray} \widehat y(t_1)= y(t_1) \end{eqnarray}$ . Im Endeffekt ist das nichts anderes als eine Rekursionsgleichung. Idee ist, dass man den Fehler zwischen Prognose und aktuellem Wert möglich gering hält, dazu möchte man folgendes $\begin{eqnarray} (II) \end{eqnarray}$ minimieren. $\begin{eqnarray} S_k(\alpha)=\sum_{i=1}^{k}\left( y_(t_i)-\widehat y(t_i) \right)^2 \to \text{min} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite kann man nun anders schreiben, dank $\begin{eqnarray} (I) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} S_k(\alpha)=\sum_{i=1}^{k}\left\{ [y(t_i)-y(t_{i-1})] + \alpha [y(t_{i-1})-\widehat y(t_{i-1}]) \right\}^2 \end{eqnarray}$ Dann steht folgendes, was ich nicht verstehe: "then the minimum point series of the parameter $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ in the function $\begin{eqnarray} S_k(\alpha) \end{eqnarray}$ can be obtained as follows $\begin{eqnarray} (III) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \widehat \alpha_k^{(0)}=-\frac{ \sum_{i=1}^k [y(t_i)-y(t_{i-1})] [y(t_{i-1})-y(t_{i-1})] }{\sum_{i=1}^k [y(t_{i-1})-\widehat y(t_{i-1})]^2} \end{eqnarray}$ 1. Frage: Wie komme ich auf diese Umformung? 2. Frage: Die Gleichung $\begin{eqnarray} (II) \end{eqnarray}$ so wie sie dasteht, stimmt ja schon für $\begin{eqnarray} i=1 \end{eqnarray}$ nicht, da $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ ja nirgends definiert ist, was es sein soll.... Könnt ihr mir helfen?
05.04.2012, 13:44	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich kenne es auch so, dass man das alles für $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ initialisiert. Dann passt das auch mit (II). Zu dem Alpha - leite doch mal die letzte Formel für $\begin{eqnarray} S_k(\alpha) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ab. Es gibt da ja die notwendige Bedingung für Extrema. Die hinreichende erledigt sich fast von selbst.
05.04.2012, 15:04	Rekursion	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} S_k(\alpha)'=\sum_{i=1}^{k} 2\cdot(y(t_{i-1})-\widehat y(t_{i-1}))\cdot(y(t_i)-y(t_{i-1})+\alpha(y(t_{i-1})-\widehat y(t_{i-1})) \end{eqnarray}$ Nun soll $\begin{eqnarray} S_k(\alpha)'=0 \end{eqnarray}$ sein. Aber wie bekomme ich das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aus dem Summenzeichen raus? Oder ist das, was ich gemacht habe, völlig falsch?
05.04.2012, 16:15	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere die Klammer vorne inklusive der 2 aus, schreibe das alles als 2 Summen, ziehe das Alpha als Konstanten Faktor heraus. Bist auf einem guten Weg.

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