Gausssche Integralfunktion Phi(z) oder Sigmaumgebung?

05.04.2012, 14:07	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Gausssche Integralfunktion Phi(z) oder Sigmaumgebung? Hallo, ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe: Von 230 Mitarbeitern einer Firma kommen durchschnittlich 40% mit einem Auto zu Arbeit. Frage: Wie viele Einstellplätze müssen zu Verfügung stehen, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ausreichen? $\begin{eqnarray} E(X)=u=92 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sigma=7,43 \end{eqnarray}$ Erster Lösungsvorschlag: $\begin{eqnarray} P(u-kSigma\leq X\leq u+kSigma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 92-1,647,43=79,82 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 92+1,647,43=104,19 \end{eqnarray}$ Ich nehme die inneren Grenzen, also genügen 80 bis 104 Parkplätze zu 90% Zweiter Lösungsvorschlag: $\begin{eqnarray} P(X\leq k)=0,9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X\leq k)=Phi(\frac{k+0,5-u}{Sigma}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Phi(1,29) \end{eqnarray}$ entspricht 0,9 $\begin{eqnarray} \frac{k+0,5-92}{7,43}=1,29 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=101,0847=102 \end{eqnarray}$ Es genügen 102 Parklpätze zu 90% Welche Lösung ist denn die richtige? LG Maximan
05.04.2012, 21:46	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Maximan, wenn man mit Binomialvert (also exakt). rechnet ist $\begin{eqnarray} P(X\geq 102)=10,09...% \end{eqnarray}$ . Sieht man auf diese knapp 0,1%, dann müsste bräuchte man sogar 103 PP, sonst 102. Lässt man die 0,5 weg, dann ergibt $\begin{eqnarray} \Phi(\frac{x-92}{\sqrt{230\cdot .4\cdot .6}})-0.9 \end{eqnarray}$ x=101.52 eines etwas besseren Wert als $\begin{eqnarray} \Phi(\frac{x+0.5-92}{\sqrt{230\cdot .4\cdot .6}})-0.9 \end{eqnarray}$ mit x= 101.02... Deine 2. Lösung ist also richtig.
05.04.2012, 22:43	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Warum ist der erste Lösungsvorschlag denn falsch? Den Unterschied der beiden Lösungswege kann man sich ja veranschaulichen: Der erste Lösungsvorschlag besteht aus der 90%-Umgebung von Erwartungswert. Der zweite Lösungsvorschlag besteht quasi aus dem Integral der Näherungsformel von Moivre und Laplace in den Grenzen von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis zu dem Wert, der 90% entspricht (in dem Fall 102)
05.04.2012, 23:32	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Im ersten Fall hast du berechnet, in welchem Intervall die Parkplatzbelegung mit 90%iger Sicherheit liegt. In der Aufgabe ist aber keine Mindestzahl für die Belegung gefordert. Du darfst also nur rechts begrenzen: P(X<k). nicht P(k1<X<k2)

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