Stetigkeit und Differenzierbarkeit - Seite 2

06.04.2012, 21:18

blu3.Eye

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Zitat:

Ich schätze, daraus hast du jetzt auch geschlossen, dass die Funktion stetig ist, oder?

Die ganze Funktion?
Ich hätte gesagt, dass die Funktion an der Stelle x=3 stetig ist.
Ist sie deshalb überall stetig?

2b:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to{-2}}\frac{x^3+8}{x+2} \end{eqnarray*}$

Mit:

$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) \cdot (a^2 - ab + b^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to3}\frac{(x + 2)\cdot (x^2 - 2x + 4)}{(x+2)} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich wie bei a kürzen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to3}\frac{x^2 - 2x + 4}{1} = 12 \end{eqnarray*}$

Das heißt die Funktion ist an der Stelle x=-2 unstetig, da der Grenzwert bei 12 und nicht 10 liegt?

//
Ach, ich bin nur beeindruckt wie gut du bist Freude

Freude

Ich kann mir gar nicht erinnern, ob ich mit 16 schon am Thema Stetigkeit saß :P

06.04.2012, 21:25

Che Netzer

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1. Jein. Wir haben zwar nur die Stetigkeit an dieser einen Stelle gezeigt, aber das war auch die einzige, an der es "interessant" wurde. Ansonsten gilt: Jede Komposition stetiger Funktionen ist stetig. Und die Potenzfunktionen, Summe und Quotienten sind stetig. Aber davon abgesehen hast du natürlich recht.

2. Ja, die Rechnung ist auch richtig (nur, dass du im Grenzwert zweimal 3 statt -2 geschrieben hast, war aber wohl ein Tippfehler).
Hier auch wieder eine Grafik:

Bei der gegebenen Funktion musst du dir vorstellen, dass der Punkt (-2|10) nun auch zum Graphen gehören würde und damit ist der Graph keine durchgängige Linie mehr.

Und das mit der Stetigkeit konnte ich ehrlich gesagt schon mit 14 smile

smile

06.04.2012, 21:48

blu3.Eye

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Super, danke smile

smile

Nun Aufgabe 3:

Erstmal wieder nur der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to{x_0}} \frac{x^3-1}{x} = \frac{x_0^3-1}{x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = x - x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\to{0}} \frac{(h+x_0)^3-1}{h+x_0} = \frac{x_0^3-1}{x_0} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig oder?

//
Großartig, weiter so Freude

Freude

Freude

06.04.2012, 22:16

Che Netzer

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Wenn man hier die Stetigkeit der einzelnen Teilfunktionen voraussetzen kann, dürfte das wohl wirklich schon reichen. Ansonsten könnte man daraus auch $\begin{eqnarray*} x^2-\tfrac1x \end{eqnarray*}$ machen, aber ich weiß nicht, wie genau ihr vorgeht und was ihr benutzen/voraussetzen dürft.
Oder du machst aus dem Bruch zwei Grenzwerte (Grenzwert von x³-1 durch Grenzwert von x) und schreibst das dann Stück für Stück aus...

Aber das mit der Gleichheit ist wieder ein Problem unglücklich

unglücklich

Du könntest auch vor deine erste Gleichung, also den Ansatz "zu zeigen:" schreiben. Damit hätte ich dann keine Probleme.

Hast du noch weitere Aufgaben?

06.04.2012, 23:22

blu3.Eye

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1.Frage:

Das heißt ich muss das nicht mehr soweit umformen, wie vorher?
Ich würde es gerne einfach korrekt machen, da ich dazu keine Aufzeichnungen mehr habe.

2.Frage:

Eine Frage nochmal, da ich das noch nicht ganz verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\to0}(x_0+h)^2=x_0^2 \end{eqnarray*}$

Hier steht ja, dass h gegen 0 läuft.
Aber für welches h genau gilt das denn?
Denn das eine mal hast du mir ja gesagt, ich dürfe das limes h->0 nicht in die Klammer hineinziehen.
Also ich darf jetzt nicht einfach schreiben (x_0 + 0 )^2 = x_0
Kannst du mir das bitte noch einmal genauer erklären?
Warum darf ich das nicht sofort machen, ich dachte das gilt dann für alle h's die vorkommen?
Warum muss ich das umformen?

3.Frage:
Jede Funktion besitzt einen Definitionsbereich.
Nun kann es in diesem Definitionsbereich Lücken geben und zwar bei einer Division durch 0.
Das heißt für diese/n bestimmten x-Wert/e ist die Funktion nicht definiert -> Definitionslücke
?!Aber was ist jetzt der Unterschied zwischen Definitionslücke und einer unstetigen Stelle?
Angenommen eine Funkion sieht so aus:
f(2) = 3; f(3) = nicht definiert; f(4) = 66
Jetzt ist das doch ein riesiger Sprung. Aber es ist dennoch stetig oder?
Oder ist es eine Definitionslücke und unstetig?

Weitere Aufgaben:

Du hast mir sehr viel geholfen Che Netzer dafür danke ich dir schonmal smile

smile

Gott

Und da es bei mir immer etwas länger dauert kannst du dir, falls du nicht mehr willst oder keine Lust hast, bei den anderen Aufgaben eine Pause gönnen.

Willst du oder soll jemand anders übernehmen? smile

smile

Aufgaben:

http://www7.pic-upload.de/06.04.12/g1pzo8jl8dfz.png

06.04.2012, 23:39

Che Netzer

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1. Frage:

Die Stetigkeit besagt, dass die Bildung des Grenzwertes und das Anwenden der Funktion beliebig vertauschbar sind. Diese Tatsache kann man also nicht anwenden, wenn man die Stetigkeit (und damit diese Aussage) erst beweisen möchte.
Also muss man erst beweisen, dass man Quadrieren und Grenzwert-Bilden vertauschen kann. Erst wenn man das nachgewiesen hat, könnte man deine Rechnung durchführen.
Stattdessen sucht man sich einen anderen Weg, den Ausdruck zu berechnen; die binomische Formel, das hatten wir ja schon-

2. Frage:

Eine Funktion kann nur an Stellen unstetig oder stetig sein, die zu ihrem Definitionsbereich gehören.
Du kannst dir die Stetigkeit auch so "definieren" (das wird jetzt eher anschaulich als präzise):
Sei x im Definitionsbereich von f. Dann betrachtest du den "entsprechenden Punkt" ( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ |f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )) auf dem Graphen. Jetzt wird dir ein waagerechter Streifen gegeben, in dessen Mitte der Punkt liegt, d.h. du zeichnest dir in gleichem Abstand zwei waagerechte Linien über und unter diesen Punkt.
Die Funktion ist dann an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn du - egal, wie schmal der Streifen ist - einen senkrechten Streifen um diesen Punkt findest (also ein Intervall um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ), sodass keine Punkte des Graphen außerhalb des Rechtecks liegen, das die beiden Streifen gemeinsam haben.

Bzw.: Für jeden Abstand von f(x) zu $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ muss ein Intervall um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existieren, sodass alle Funktionswerte innerhalb dieses Intervalls (also die Funktionswerte zu den Werten des Intervalls, die m Definitionsbereich liegen) maximal den gegebenen Abstand zu $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ haben.

Wenn man also einen Definitionsbereich hat, in dem es einzelne Punkte gibt (isolierte Punkte), dann kann man dieses Intervall so klein wählen, dass man keine weiteren Punkte des Definitionsbereichs darin hat und somit kann der Abstand auch nicht zu groß werden.

Mit der bisherigen Definition:
Das x aus dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$ muss ja im Definitionsbereich liegen, sonst wäre f(x) nicht definiert. Und damit x gegen einen isolierten Punkt laufen kann, muss er ihn erreichen, da er andernfalls ja einen Mindestabstand zu $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hätte. Und dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist, dürfte klar sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe, das war verständlich und hilfreich...

Zu den Aufgaben: Das kann ich mir dann gerne ansehen, habe ja gerade eh nichts zu tun smile

smile

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06.04.2012, 23:42

Equester

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Für eine neue Aufgabe öffnet bitte einen neuen Thread.
Dieser hier ist lang genug smile

smile

.

Wink

07.04.2012, 01:14

blu3.Eye

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Okay Equester, ich will nur noch die beiden Fragen klären Augenzwinkern

Augenzwinkern

1.Frage:
Ich verstehe nicht was du mit dem Begriff vertauschbar meinst.

Was ist der Unterschied zwischen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\to0}\left(\frac1{x_0+h}-\frac1{x_0}\right) \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\to0}h ( \frac 1{x_0^2+hx_0}) \end{eqnarray*}$

Beides ist doch genau das gleiche, nur umgestellt.
Dennoch darf ich den Grenzwert nur für das h im 2. Term bilden.. warum?
Es ist doch das gleiche..

2.Frage:

Ich habe meine Frage nicht präzise genug gestellt.
Ich wollte wissen, ob eine Funktion an der Stelle sich ihre Definitionslücke befindet automatisch an der Stelle unstetig ist?
Beziehungsweise an der Stelle, die unmittelbar nach der Definitionslücke folgt.

Aber nach deinem Text ist es doch so, dass ich die Stetigkeit einer Funktion nur in ihrem Definitionsbereich betrachten kann. Also gehört die Definitionslücke nicht dazu, oder?
Sind es dann zwei Definitionsbereiche?
Der eine vor der Definitonslücke und der Andere nach der Definitonslücke?
Also trennt die Definitionslücke den Definitonsbereich in zwei Teile?

Beispiel:
[attach]23862[/attach]

Beide Funktion haben eine Definitonslücke xD, jedoch sieht Funktion 1 in dem Punkt unstetig aus bzw. in dem Punkt in dem der Graph unmittelbar nach der Definitonslücke wieder anfängt.
Bei Funktion 2 verändere ich den X-Wert nach der Definitonslücke etwas und der y-Wert verändert sich auch nur minimal. Also ist sie stetig?
Das ist doch auch eine Definiton der Stetigkeit. Für eine minimale Änderung von x erhalte ich eine minmale Änderung des Funktionswertes.

Und hier ist wieder eine wichtige Frage:
Darf ich die Stelle unmittelbar vor der Definitionslücke mit der Stelle unmittelbar hinter der Definitionslücke überhaupt vergleichen?
Den visuell schließe ich alleine durch diesen Vergleich auf Stetigkeit bzw. Unstetigkeit.

Oder muss ich es so machen. Ich betrachte den Teil der Funktion bis zur Definitionslücke auf Stetigkeit und dann den Teil nach der Definitionslücke?Ich kann/darf also nicht die gesamte Funktion betrachten, sondern seperat in zwei Teilen?

Also wie ist das jetzt mit dem Beispiel, wenn ich die Graphen visuell auf Stetigkeit überprüfen soll?

07.04.2012, 01:21

Che Netzer

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Zur ersten Frage:
Mit "vertauschbar" meine ich, dass es keine Rolle spielt, ob ich $\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to x_0}x) \end{eqnarray*}$ schreibe oder $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$ .
Bei einem bestimme ich erst den Grenzwert und wende dann die Funktion an. Beim anderen habe ich diese Reihenfolge vertauscht.
Und dieses Vertauschen ist genau dann möglich, wenn die Funktion stetig ist. Beim Stetigkeitsbeweis kann man das also nicht anwenden.

Zur zweiten Frage:
An einer Definitionslücke kann eine Funktion gar nicht unstetig sein (aber auch nicht stetig).
Die Stetigkeit ist nur für den Definitionsbereich definiert. Wenn eine Stelle nicht im Definitionsbereich liegt, brauchst du dir dazu gar keine Gedanken zum Thema Stetigkeit machen.

Und bei Definitionslücken hat man nicht zwei Definitionsbereiche, sondern immer noch einen, nur dass er dann eine Lücke hat (er ist dann nicht mehr "zusammenhängend"; kein Intervall (inklusive der Grenzen Unendlich) mehr).

Bei den Graphen stellt sich folgende Frage: Wie ist die Funktion an $\begin{eqnarray*} x_D \end{eqnarray*}$ definiert? Wenn sie dort nicht definiert ist, ist sie dort auch nicht unstetig.
(es gäbe noch den Begriff der stetigen Fortsetzbarkeit, aber das brauchen wir ja hier nicht)

07.04.2012, 01:22

Che Netzer

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Zum Edit: "Darf ich die Stelle unmittelbar vor der Definitionslücke mit der Stelle unmittelbar hinter der Definitionslücke überhaupt vergleichen?"
Nicht direkt. An einer Stelle vor der Definitionslücke gibt es immer ein kleines Intervall, sodass die Stellen hinter der Definitionslücke nicht mehr enthalten sind.

Außerdem gibt es keine Stelle "unmittelbar davor". Was wäre denn die Zahl, die "unmittelbar vor 1" liegt?

07.04.2012, 02:22

blu3.Eye

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Frage 1:

Wenn sie stetig ist kann ich also $\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to x_0}x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$ schreiben.

I.

$\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to x_0}x) \end{eqnarray*}$
Du schreibst hier wird erst der Grenzwert bestimmt und dann die Funktion angewandt.
Also sagen wir zum Beispiel x_0 = 3

Der Grenzwert sorgt also dafür, dass das x unendlich nach an die 3 geht also sagen wir vereinfacht mal:
2.99999 bzw. 3.00001

Dann rechnet er f(2.99999) = z

Okay.

II.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$

Du sagst hier macht er es genau umgekehrt.
Also erst Funktion anwenden und dann Grenzwert bestimmen.

Aber wie soll man hier die Funktion anwenden ohnen eine Wert für x zu haben?

Frage 2:

In Funktion 1 aus dem Beispiel ist es doch so:
Bei der Stelle unmitterbar vor der Definitionslücke und die kann man genau ausdrücken (sagen wir xD=1), dass ist der Grenzwert von unten kommend für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x \end{eqnarray*}$ also die letzte Stelle, die im Graphen vor der Definitonslücke eingezeichnet ist hat einen ganz anderen Funktionswert als die Stelle unmittelbar hinter der Definitionslücke also der Grenzwert von oben kommend für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x \end{eqnarray*}$ .

Und deswegen nochmal die Frage aus meinem Post davor:

Zitat:

Oder muss ich es so machen. Ich betrachte den Teil der Funktion bis zur Definitionslücke auf Stetigkeit und dann den Teil nach der Definitionslücke?Ich kann/darf also nicht die gesamte Funktion betrachten, sondern seperat in zwei Teilen?

Und

Zitat:

Nicht direkt. An einer Stelle vor der Definitionslücke gibt es immer ein kleines Intervall, sodass die Stellen hinter der Definitionslücke nicht mehr enthalten sind.

Verstehe ich nicht.

07.04.2012, 02:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von blu3.Eye
Wenn sie stetig ist kann ich also $\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to x_0}x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Genau. Und sogar NUR dann.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to x_0}x) \end{eqnarray*}$
[...]
Der Grenzwert sorgt also dafür, dass das x unendlich nach an die 3 geht also sagen wir vereinfacht mal:
2.99999 bzw. 3.00001

Dann rechnet er f(2.99999) = z

So würde ich das nicht sehen. Man bildet den Grenzwert, bevor man die Funktion anwendet. Das bedeutet, man hat vorher schon die 3 erreicht.
Sprich: Berechne den Grenzwert von x für x gegen 3. Das ergibt offensichtlich 3. Setze dann diesen Grenzwert in f ein.

Zitat:

Aber wie soll man hier die Funktion anwenden ohnen eine Wert für x zu haben?

Da benutzt man x als Variable. man erhält dann einen Term in Abhängigkeit von x. Zu dem Zeitpunkt ist noch egal, wie genau x aussieht Und dann lässt man x gegen die gesuchte Stelle laufen. An dieser Stelle wäre "f(2,999...)" angebracht: Die Werte die man einsetzt, kommen immer näher an die gesuchte Stelle, hier 3.

Das "Vorgehen": Setze irgendetwas in f ein und lasse das Irgendetwas DANN gegen die gewünschte Stelle laufen.

Zitat:

In Funktion 1 aus dem Beispiel ist es doch so:
Bei der Stelle unmitterbar vor der Definitionslücke

Es gibt keine Stelle unmittelbar davor.
Angenommen, a wäre die Stelle, die "unmittelbar" vor der Definitionslücke $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegt. Dann ist die Stelle $\begin{eqnarray*} \tfrac{a+x_0}2 \end{eqnarray*}$ dazwischen, liegt also näher an der Definitionslücke als a.
Insofern ist es möglich, einen Bereich um eine Stelle vor der Definitionslücke zu wählen, in dem keine Zahlen von "rechts von der Definitionslücke" liegen. Daher ist die Funktion dann trotzdem stetig.

Zitat:

Oder muss ich es so machen. Ich betrachte den Teil der Funktion bis zur Definitionslücke auf Stetigkeit und dann den Teil nach der Definitionslücke?Ich kann/darf also nicht die gesamte Funktion betrachten, sondern seperat in zwei Teilen?

Naja, so ähnlich. Ich hoffe, das von oben war diesmal verständlich.

08.04.2012, 19:48

blu3.Eye

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Zitat:

Naja, so ähnlich.

Wie wäre es denn korrekt?

08.04.2012, 19:50

Che Netzer

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Im Prinzip betrachtest du durchaus den gesamten Bereich. Aber du kannst natürlich beide Seiten der Definitionslücke getrennt untersuchen.
Spielt keine Rolle, wenn das Vorgehen am Ende ein (richtiges) Ergebnis liefert.

08.04.2012, 20:07

blu3.Eye

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Und was wäre das richtige Ergebnis für das Beispiel?

Könntest du mir das in deinen Worten einmal korrekt formulieren, damit wir in diesem Thread endlich fertig sind Big Laugh

Big Laugh

08.04.2012, 20:11

Che Netzer

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Wenn eine Funktion eine Definitionslücke besitzt, aber auf ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist sie stetig. Egal, gegen was die Funktion auf einer beliebigen Seite läuft, wenn man sich an ihre Definitionslücke annähert. Beispiel ist 1/x, die Funktion ist auch stetig, obwohl sie an der Stelle Null nicht definiert ist und der Grenzwert für x gegen 0 weder existiert noch auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen hat.

08.04.2012, 20:15

blu3.Eye

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Und deshalb sind auch beide Funktionen im Beispiel stetig, oder?

08.04.2012, 20:16

Che Netzer

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Ja, WENN sie an $\begin{eqnarray*} x_D \end{eqnarray*}$ nicht definiert sind.

08.04.2012, 20:35

blu3.Eye

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Genau, deshalb hatte ich sie ja xD(efinitionslücke) genannt Big Laugh

Big Laugh

Wären sie in xD definiert, dann wären beide Funktion in xD unstetig, oder?

08.04.2012, 20:43

Che Netzer

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Wenn sie dort definiert wäre, wäre die erste Funktion auf jeden Fall unstetig. Wenn man bei der zweiten den Funktionswert so definiert, dass er genau "reinpasst", wäre die Funktion noch stetig, sonst nicht.

Übrigens finde ich ja ganz besonders hier $\begin{eqnarray*} x_D \end{eqnarray*}$ besser als xD Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2012, 21:17

blu3.Eye

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Super, vielen Dank für deine Zeit und Bemühungen Che Netzer Freude

Freude

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