Bestimmen Sie alle Punkte mit waagrechter Tangentialebene

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dreamlike Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie alle Punkte mit waagrechter Tangentialebene
Hallo Leute,

habe folgendes Problem, hoffe das ihr mir helfen könnt. Zunächst hatte ich folgende Funktion abzuleiten











Dann soll ich alle Punkte mit waagrechter Tangentialebene berechnen. Ehrlich gesagt weiss ich nicht wie ich das machen soll. Ich hoffe, das ihr mir weiterhelfen könnt. Danke.

Gruss d.L.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme den Gradientenvektor. Dieser - für einen Punkt der Funktion (Fläche) bestimmte - Vektor ist mit z = -1 in R3 der Normalvektor der Tangentialebene in diesem Punkt.
Wie muss dieser bei einer waagrechten Ebene aussehen?
_____________________

Sh. dazu auch --> Tangentialebene bestimmen

EDIT: Ergänzung blau eingefügt

mY+
dreamlike Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mal folgenden Versuch gestartet:

Zunächst

danach und y ersetzt durch





und



x1, x2 in y eingesetzt ergibt y1 = 7/8, y2 = 19/6






so einen anderen Weg wüsste ich dann nicht unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:
Es kann sein, dass ich gerade irgendetwas verwechsle, aber wie soll der Gradient ein Normalvektor einer Ebene sein, wenn er zweidimensional ist.
So wie ich das sehe, sind hier die kritischen Punkte gesucht. (Gradient gleich Null setzen, hat der Fragesteller ja auch gerade gemacht)
dreamlike Auf diesen Beitrag antworten »

ist das was ich oben gemacht habe ok ?
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

@che
Für eine (diff.bare) Funktion mit
beschreibt den Graphen, sodass

2 lin.unabh. Vektoren gegeben sind,

sodaß eine Tangentialebene

an in darstellt... IMHO Gradient am Graphen ...

Mit kommt man btw noch zu einer Hesse-Form.

HTH
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt
Ich hätte ja direkt argumentiert, dass bei waagerechter Tangentialebene die partiellen Ableitungen (offensichtlich?) Null sein müssen. Wie bei der waagerechten Tangente im Fall .
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Also leuchtet ein ?!

Edit: Es ging mir um den allg./geom. Zusammenhang der von mY gemachten Aussage UND nicht um irgendeinen Spez.Fall.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist mit klar. Sieht mir nur etwas umständlich aus. (zumindest was die Aufgabe betrifft)
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
umständlich

Wir spendieren eine weitere Komponente, um anschaulich ...
Zitat:
... Gradient ein Normalvektor einer Ebene sein, wenn er zweidimensional ist.

... mit dem Graphen (drei-dim.) argumentieren zu können.

Insofern wird der Artikel von mY *klick* IMHO minimalst auf eine vergleichbare / korrekte math. Form gebracht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich finde, dass der direkte Schluss bzw. auch anschaulich ist smile Und einfacher smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dreamlike
Habe mal folgenden Versuch gestartet:

Zunächst

danach und y ersetzt durch




...


Der Anfang stimmt, und die quadratische Gleichung im Ansatz auch noch.
Allerdings hast du diese dann falsch aufgelöst!
Sag' einmal, WIE löst man denn quadratische Gleichungen richtig auf? Kennst du die p-q oder a-b-c - Formel?
Das Faktorisieren nützt hier nichts, denn das funktioniert nur dann, wenn das Produkt Null ist.

@Che Netzer
Die Funktion z = f(x, y) ist NICHT zweidimensional, denn z ist nicht Null und hat demzufolge ebenfalls eine Richtungsableitung (-1).
Siehe dazu nochmals den Beitrag --> Tangentialebene bestimmen

Bei einer waagrechten Tangentialebene muss der Normalvektor senkrecht zur x-y Ebene (bzw. parallel zur z-Achse) sein. Daher müssen dessen x- und y- Komponenten (d.s. die beiden Richtungsableitungen nach x und y) zu Null werden. Dieser Lösungsweg ist dann identisch mit deinem letzten Beitrag.

[Wir erhalten x = 1 oder x = 1/3, mit den entsprechenden y-Werten ergeben sich zwei Punkte]

mY+
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:
Ich dachte, du meintest den Gradienten von f. Aber das hat sich ja jetzt geklärt...
dreamlike Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Danke habe meinen Fehler gefunden, jetzt habe ich das gleiche Ergebnis wie du. Danke nochmals.
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