Matrix(Q) EW, EV berechnen

05.04.2012, 22:22	Kausrufe	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix(Q) EW, EV berechnen [ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ €M(4x4,Q)trigonalisierbar? Ist sie diagonalisierbar?Falls sie trigonalisierbar ist, bestimmen Sie ein T € GL(4;Q), so daß T^-1ATeine obere Dreiecksmatrix ist.Falls sie diagonalisierbar ist, bestimmen Sie ein T € GL(4;Q), so daß T^-1ATeine Diagonalmatrix ist. Ich hänge bei einer eher leichten Aufgabe und stehe auf dem Schlauch. Die Eigenwerte 1, 1, -1, 3 sind rational. Also sollte es auch rationale Eigenvektoren geben. Ich komme allerdings nicht darauf was ich falsch mache und eine ähnliche Aufgabe finde ich nicht. Ich wäre sehr dankbar für einen Hinweis.
05.04.2012, 22:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix(Q) EW, EV berechnen $\begin{eqnarray} \in M(4\times4,\mathbb Q) \end{eqnarray}$ soll heißen, dass die Matrix rational sein soll? Also aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q^{4\times 4} \end{eqnarray}$ . Ist sie doch aber gar nicht, wenn ich da nichts falsch verstehe... Ich gehe einfach mal von einer reellen 4x4-Matrix aus, ich habe auch nur damit Probleme, dass in der Matrix selbst irrationale Zahlen auftauchen. Du hast jedenfalls drei verschiedene Eigenwerte. Damit die Matrix diagonalisierbar ist, muss der Eigenraum zum Eigenwert 1 zweidimensional sein. Von daher würde ich einfach mal die Einheitsmatrix von der gegebenen Matrix abziehen und mir den Kern davon ansehen (ist leicht zu bestimmen). Die Eigenvektoren werden dann auch problemlos rational. mfg, Ché Netzer
05.04.2012, 22:43	Kausrufe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mir auch gedacht. Aber was soll das Q an der Stelle sonst heißen? Auch wenn man sich "T € GL(4;Q)" ansieht. Es geht nicht um die 2 EV von 1, sondern um die EV von -1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und 3 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
05.04.2012, 22:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, die sind ja auch noch da Dann würde ich nochmal nachfragen, warum in der Matrix irrationale Zahlen stehen dürfen. Für mich ergibt die Aufgabe so keinen Sinn...

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