Taylor,geometrische Reihe

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06.04.2012, 00:42	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor,geometrische Reihe Man bestimme die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+x} \end{eqnarray}$ mit Anschlussstelle $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ mittels herausheben von 1/2 und Anwenden der SUmmenformmel für geometrische Reihen. Für welche $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ konvergiert sie? $\begin{eqnarray} \frac{1}{2+x}= \frac{1}{2} \frac{1}{(1+x/2)} \end{eqnarray}$ Muss ich jetzt ableiten um die geometrische Reihe zu sehen? $\begin{eqnarray} ( \frac{1}{2} * \frac{1}{(1+x/2)} )'= \frac{1}{2} \frac{-1}{2(x/2+1)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \frac{1}{2} * \frac{1}{(1+x/2)} )'' = \frac{1}{2}\frac{1}{2(\frac{x}{2}+1)^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(k)} = \frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{2(\frac{x}{2}+1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ Wo sehe ich nun eine geometrische Reihe?
06.04.2012, 00:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor,geometrische Reihe Ableiten musst du ja eben nicht. Stattdessen: $\begin{eqnarray} \frac1{1+\tfrac x2}=\frac1{1-(-\tfrac x2)} \end{eqnarray}$ mfg, Ché Netzer Edit: Außerdem sind deine Ableitungen falsch
06.04.2012, 00:57	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_1 \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac1{1+\tfrac x2}=\frac1{1-(-\tfrac x2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{-x}{2})^k \end{eqnarray*}$ Oder hab ich das ganz falsch verstanden? Und was hat das dan mit der Taylorreihe zu tun bzw. warum hängt das damit zusammen, ich bin ganz neu in der Materie, kenne mich da noch nicht wirklich aus.
06.04.2012, 01:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac12 \end{eqnarray}$ hast du noch vergessen. Ansonsten ist $\begin{eqnarray} \frac12\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{-x}2\right)^k \end{eqnarray}$ deine Reihendarstellung. Jetzt musst du sie nur noch auf Konvergenz untersuchen.
06.04.2012, 01:13	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wieso entspricht das der Taylorreihe? Ich hab doch eine Formel für die Taylorreihe und muss da sonst differenzieren und die n-te ableitung bilden. Ja stimmt der Faktor ist mir entwichen. $\begin{eqnarray} \frac12\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{-x}2\right)^k \end{eqnarray}$ Die geometrische Reihe konvergiert doch für $\begin{eqnarray} \|\frac{-x}{2}\|< 1 <=>\frac{\|-x\|}{2}< 1 <=>\|x\|< 2 \end{eqnarray}$ Hab ich wieder nur Unsinn veranstaltet?
06.04.2012, 01:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die Reihe so passt, ist einfach so Zumindest hätte ich dazu keinen Beweis, dass beide Wege (immer) zur gleichen Reihe führen. Hier würde sich bei einer Taylorreihe z.B. die Fakultät im Nenner mit der aus der Ableitung herauskürzen, $\begin{eqnarray} (\tfrac1{2+0})^n=(\tfrac12)^n \end{eqnarray}$ und der Rest passt auch. Dein Konvergenzbereich stimmt.
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06.04.2012, 01:29	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke schonmal. Aber das müsste doch genauso gehen mit Differenzieren? $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2+x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f' (x) = \frac{-1}{(2+x)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{2}{2+x)^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(k)} (x) = \frac{(-1)^k \cdot{} (k!)}{(2+x)^{k+1}} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang $\begin{eqnarray} f^{(1)} (x) = \frac{(-1)^1 \cdot{} 1!}{(2+x)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{-1}{(2+x)^2} \end{eqnarray}$ stimmt Induktionsannahme für k=n $\begin{eqnarray} f^{(n)} (x) = \frac{(-1)^n \cdot{} (n!)}{(2+x)^n} \end{eqnarray}$ Induktionsschritt n -> n +1 ZZ.: $\begin{eqnarray} f^{(n+1)} (x) = \frac{(-1)^{n+1} \cdot{} ({n+1}!)}{(2+x)^{n+1}} \end{eqnarray}$ WIe mache ich solch eine Induktion? $\begin{eqnarray} f^{(n)} (x) \end{eqnarray}$ nochmals ableiten? Aber wie leite ich Fakultät ab?
06.04.2012, 01:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Pff, weg mit der Induktion. Da schreibt man, dass das so ist und dann isses so. Wenn man da nicht gerade überstrenge Korrektoren hat, muss man hier keinen Induktionsbeweis führen. (zur Ableitung: Die Fakultät ist eine Konstante...) Im Nenner müsste der Exponent allerdings um 1 höher sein. Dann die Null einsetzen, mit $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ multiplizieren, durch k! teilen und in die Reihe werfen, dann hat man dasselbe Ergebnis.
06.04.2012, 01:46	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Trotzdem würde ich gerne verstehen wie man da die Induktion macht. Induktionsannahme für k=n $\begin{eqnarray} f^{(n)} (x) = \frac{(-1)^n \cdot{} (n!)}{(2+x)^{n+1}} \end{eqnarray}$ Induktionsschritt n -> n +1 ZZ.: $\begin{eqnarray} f^{(n+1)} (x) = \frac{(-1)^{n+1} \cdot{} ({n+1}!)}{(2+x)^{n+2}} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich f^{(n)} (x) ableiten nach x ? Das sind ja dann im Zähler nur Konstanten? $\begin{eqnarray} ( f^{(n)} (x))' = \frac{(-1)^n (n!) * (-n-1)(2+x)^{-n-2}}{1} = \frac{(-1)^{n+1} (n!) * (-n)}{(2+x)^{n+2}} \end{eqnarray*}$ Was ist da den schief gelaufen? lg
06.04.2012, 01:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-n-1)=-(n+1)=(-1)(n+1) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} (-1)^n(-n-1)n!=(-1)^{n+1}(n+1)! \end{eqnarray}$ .
06.04.2012, 01:51	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
danke deine Antworten kommen ja ratz-fatz Liebe Grüße
06.04.2012, 01:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollte ich denn um 1:52 auch sonst noch zu tun haben?
06.04.2012, 01:58	Springpony	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann bist du herzlichst eingeladen, bei meinen zweiten Post Cauchyprodukt vorbeizuschauen. Gute nacht, ich geh jetzt schlafen. Bei mir klappt so spät eh nichts mehr.
06.04.2012, 02:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das Cauchy-Produkt wurde bei uns nie erwähnt Ich kann aber mal sehen, ob ich dazu etwas im Internet finde, wenn es hier nichts anderes zu tun gibt. (Laut "Wer ist online?" antwortet darauf aber schon jemand (irgendein Gast))

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