komplexe Zahlen, nach x auflösen

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06.04.2012, 02:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen, nach x auflösen Meine Frage: Hi, ich soll folgende Aufgabe nach x auflösen: $\begin{eqnarray} \frac{(x+i)}{(-2+3i)}=\frac{(5i+1)}{(x-i)} \end{eqnarray}$ Dies ist die erste Aufgabe, die ich dieser Art rechne und bin deshalb noch recht unerfahren was das angeht. Ich habe jeweils die Brüche mit ihren komplex konjugierten Zahlen erweitert. $\begin{eqnarray} \frac{(x+i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}=\frac{(5i+1)(x+i)}{(x-i)(x+i)}<br /> <br /> =\frac{-2x-3xi-2i+3}{13}=\frac{5xi-5+x+i}{x^2+1} \end{eqnarray}$ Jetzt entferne ich die Nenner in dem ich mit 13 und (x^2+1) multipliziere. $\begin{eqnarray} (x^2+1)(-2x-3xi-2i+3)=13(5xi-5+x+i) \end{eqnarray}$ Nun würde ich weiter ausmultiplizieren, was mich zu einer kubischen Gleichung führen würde. Dann müsste ich eine Polynomdivision, oder ähnliches durchführen, aber dazu reich mein Wissen in diesem Bereich gar nicht aus. Gibt es irgend einen Trick für diese Gleichung. Immerhin wäre der Nenner des 2ten Bruches ja die komplex konjugierte Zahl zum Zähler des 1 Bruches. Kann man das irgendwie geschickt verwenden, was die Lösung sehr einfach macht? Meine Ideen: ...
06.04.2012, 03:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen, nach x auflösen Was hältst du denn von dem Ansatz, beide Seiten mit x-i zu multiplizieren?
06.04.2012, 03:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mit dem Ansatz über die Komplex Konjugierte Zahl gemeint. Aber irgendwie ist es logisch so vorzugehen. Edit: So erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{(x+i)(x-i)}{(3i-2)}=5i+1<br /> <br /> =\frac{x^2+1}{3i-2}=5i+1 \end{eqnarray}$ mit 3i-2 mulitplizieren $\begin{eqnarray} x^2+1=(5i+1)(3i-2)<br /> <br /> x^2+1=-15-10i+3i-2<br /> <br /> x^2=-16-7i<br /> x^2=-1\cdot 16-i\cdot7<br /> <br /> x^2=i^2\cdot16-i\cot7 \end{eqnarray}$ Soweit in Ordnung?
06.04.2012, 03:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Im reellen Fall würde man es ja genauso machen. Lass dich nicht von den $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ s irritieren, das ist auch nur eine Zahl. Und klappt es nun mit diesem Ansatz?
06.04.2012, 03:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
So erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{(x+i)(x-i)}{(3i-2)}=5i+1<br /> <br /> =\frac{x^2+1}{3i-2}=5i+1 \end{eqnarray}$ mit 3i-2 mulitplizieren $\begin{eqnarray} x^2+1=(5i+1)(3i-2)<br /> <br /> x^2+1=-15-10i+3i-2<br /> <br /> x^2=-16-7i<br /> x^2=-1\cdot 16-i\cdot7<br /> <br /> x^2=i^2\cdot16-i\cot7 \end{eqnarray}$ Soweit in Ordnung?
06.04.2012, 03:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem der letzten Umformungsschritte ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen, die -16 stimmen nicht ganz. Und aus der -1 brauchst du kein i² mehr zu machen. Jetzt kannst du noch die Wurzel ziehen und bist fertig. Möchtest du wissen, wie man die explizit ausrechnet? (könnte etwas dauern)
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06.04.2012, 03:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde mich schon reizen das zu wissen. Ich habe aus dem -1 ein i^2 gemacht um die Wurzel besser ziehen zu können. Muss es +16 sein? Aber 15i^2 sind doch -15 oder nicht?
06.04.2012, 03:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und -15 -2 sind auch -17. Aber wenn du dann die 1 rüberziehst, wird das nicht zu -16 Zur Wurzel: Dazu benötigst du die Darstellung in Polarkoordinaten, $\begin{eqnarray} z=re^{i\phi} \end{eqnarray}$ . Kennst du die schon?
06.04.2012, 03:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl du hier noch einen anderen Weg gehen könntest: Setze $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} z^2=a^2+2abi-b^2 \end{eqnarray}$ Das setzt du mit dem Term in der Wurzel gleich und führst einen Koeffizientenvergleich durch. Dürfte aber nicht allzu toll sein...
06.04.2012, 03:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Polarkoordinaten habe ich mal etwas in einem Video gesehen, aber wie es genau geht oder was es war weiß ich nicht mehr. Deine Darstellung erinnert mich an die Eulersche Identität, aber von der weiß ich auch nur ungefähr etwas und dort würde ich ja den Sinus und Cosinus brauchen, den ich noch nicht kenne. Es würde mich aber trotzdem Interessieren. Wären dann -18 ich Depp. Es ist ja auch schon spät. Was ist ein Koeffizienten vergleich?
06.04.2012, 03:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hier die Einführung: $\begin{eqnarray} e^{i\phi} \end{eqnarray}$ ist eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1, d.h. wenn man sie in ein Koordinatensystem einzeichnet (x-Achse: Realteil, y-Achse: Imaginärteil), liegt sie auf dem Einheitskreis. $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist dabei der Winkel zur x-Achse. Mit diesem Faktor "dreht man sich also in die richtge Richtung". Dann multipliziert man noch mit einem Betrag und erhält eine beliebige komplexe Zahl. Also ist r der Betrag einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray} z=a+bi=re^{i\phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gibt den Winkel an. Über die Winkelfunktionen könnte man nun $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von a und b darstellen, so dass man eine komplexe Zahl von der Form a+ib in die Form $\begin{eqnarray} re^{i\phi} \end{eqnarray}$ ("Polarform") bringen kann. Das müssen wir jetzt also auslassen. Wenn man aber ersteinmal diese Darstellung hat, kannst du dir überlegen, wie man daraus die Wurzel zieht (ebenfalls in Polarform).
06.04.2012, 03:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Koeffizientenvergleich: Wenn wir zwei komplexe Zahlen haben, a+ib und c+id, und wissen, dass alle Konstanten a, b, c und d reell sind, können wir aussagen, dass a+ib=c+id genau dann gilt, wenn a=c und b=d. Bei Polynomen gibt es das auch: ax²+bx+c = dx²+ex+f genau dann (für alle x), wenn die Koeffizienten für den jeweiligen Potenzen gleich sind.
06.04.2012, 03:35	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das leuchtet mir ein. Also ich soll jetzt z=a+bi substituieren um dann weiter zu kommen und dann so einen Koeffizienten vergleich durchführen. $\begin{eqnarray} x^2=-18-7i<br /> <br /> -18-7i=z<br /> <br /> x^2=z \end{eqnarray}$ Wurzeln $\begin{eqnarray} x_1=\sqrt{z}<br /> <br /> x_2=-\sqrt{z} \end{eqnarray}$ Naja wie mir das jetzt genau hilft, kann ich nicht sagen, das läuft ja aufs gleiche hinaus, wie wenn ich einfach direkt die Wurzel gezogen hätte.
06.04.2012, 03:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte eher $\begin{eqnarray} zz=a^2+2abi-b^2=-18-7i \end{eqnarray*}$ gesetzt, sodass man am Ende mit z die Wurzel erhält, aber die Vorgehensweise würde ich wie gesagt nicht empfehlen. Stattdessen solltest du dir überlegen, die man die Wurzel einer komplexen Zahl in Polarform bestimmen kann; das solltest du aber lieber nicht auf diese Aufgabe anwenden, da fehlen wieder die Winkelfunktionen. Aber Hauptziel war ja sowieso, eine Gleichung mit komplexen Zahlen vernünftig umzustellen, nicht die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen zu können.
06.04.2012, 03:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich den wenigstens ersteres mit erfolg geschafft?
06.04.2012, 03:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man von dem Rechenfehler -17-1=-16 absieht, ja
06.04.2012, 03:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Leichtsinnsfehler ist auf 3:30 zurück zuführen denke ich mal. So schwer ist das ja gar nicht mit den komplexen Zahlen, wenn ich überlege, dass es das erste mal war. Auf jeden Fall danke für die Hilfe und Einführungen.
06.04.2012, 03:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde ich auch, die komplexen Zahlen sind erstaunlich einfach zu verstehen. Ich hatte da anfangs auch viel schlimmeres erwartet.

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