ganzrationale Funktionsschar 3. Grades

06.04.2012, 12:51

Matheabi 13 2012

ganzrationale Funktionsschar 3. Grades

Meine Frage:
Gegeben ist die ganzrationale Funktionsschar 3. Grades fa(x) = ax^3 - 1,5x - 1.

Diskutieren Sie die Funktion in Hinblick auf Nullstellen, Extrema und Wendestellen in Abhängigkeit von a.

Meine Ideen:
Extrempunkte und Wendestellen waren für mich kein Problem. Jedoch hagt es bei den Nullstellen.
Da es eine Scharfunktion 3. Grades ist muss man ja theoretisch eine Polynomdivision durchführen indem eine Nullstellen raten muss.
Jedoch finde ich in der Praxis keine Nullstelle mit der ich die Polynomdivision durchführen kann.

Geogebra und co. helfen mir da leider auch nicht weiter, da sie die Abhänigkeit von a nicht angeben können.

06.04.2012, 13:19

tigerbine

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RE: ganzrationale Funktionsschar 3. Grades
$\begin{eqnarray*} f_a(x) = ax^3 - 1.5x - 1 \end{eqnarray*}$

Wir sehen schon, dass je nach a die Anzahl der Nullstellen variieren kann. Kennt ihr nur die "Rate-Methode"?

Wenn du die Extremstellen hast, könntest du zumindest schon mal über die Anzahl der Nullstellen eine Aussage machen. Auch ein von a abhängiges Intervall wäre denkbar. In dem macht man dann Newton zur genaueren Bestimmung.

Wer es ganz exakt will kommt imho um Candarno nicht herum.

code:

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Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


   T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 0,3535533905932738

   u = kubikwurzel(-q/2 + T) = 0,9485864075433501

   v = kubikwurzel(-q/2 - T) = 0,5271001102523706

   y  = u + v = 1,4756865177957206
    1
   y  = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -0,7378432588978603 - 0,36501784080102845·î
    2
   y  = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -0,7378432588978603 + 0,36501784080102845·î
    3

Der Größe nach geordnet ergeben sich also diese Lösungen der kubischen Gleichung:

   x  = 1,4756865177957208
    1
   x  = -0,7378432588978603 - 0,36501784080102845·î
    2
   x  = -0,7378432588978603 + 0,36501784080102845·î
    3

06.04.2012, 13:22

Gast11022013

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Es gibt eine Art pq-Formel für Gleichungen dieser Form.
Ich hoffe ich krieg sie noch auf die Reihe. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}<br /> \end{eqnarray*}$

Das schreiben über Latex erwies sich als kompliziert.
Aber damit wird es wohl auch nicht schöner eine Nullstelle für deine Funktion anzugeben. Big Laugh

Gibt vielleicht noch bessere Ideen. Ich überleg mal ein wenig.

Edit: Da habe ich wohl zu lange gebraucht.
Aber ich glaube diese Monsterformel läuft unter Cardanische-Formel.
Danke Tigerbine. Augenzwinkern

06.04.2012, 14:25

Matheabi 13 2012

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Vielen Dank für die Antworten!

Jedoch haben wir all dies im Unterricht noch nie behandelt.
Zwar haben wir das Newton-Verfahren mal angesprochen, aber auch nicht wirklich angewendet.

Wie soll ich denn dann an so eine Aufgabe am besten herangehen?

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