Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode

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Linne Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode
Könnte mir jemand erklären, wie ich mit Hilfe der Likelihood Methode die Strukturparameter a und b bei exponentiellen und logistischen Trends berechnen kann?
Wüd mich super über Unterstützung freuen.

Linne
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode
Willkommen im Forum, Linne Wink

Am Besten liest du dir das hier zunächst durch: Maximum-Likelihood-Methode

Dann kannst du konkret fragen bzw. sagen, wo du feststeckst.

Grüße Abakus smile

**** verschoben zur Stochastik (Schätztheorie) *****
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und wenn wir dein Beispiel hier durchgehen wollen, dann solltest du uns vor allem die von dir verwendeten Wahrscheinlichkeitsdichten deiner Grundgesamtheit nennen:

und sind ohne Kontext nämlich nur Symbole ohne jeden Inhalt.
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode
Also die Likelihood Methode ist ein Schätzwertverfahren für Warscheinlichkeiten aufgrund von Stichproben.
Gehen wir davon aus, wir haben 10 Kugeln (5 rote, 3 blaue, 2 grüne) und sollen durch 3 mal ziehen die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von blauen Kugeln ermitteln.
1) blau
2) rot
3) rot
Wir haben also eine Wahrscheinlichkeit von 2/3, wenn mich nicht alles täuscht.

Bei den Verfahren der Trendmessung muss der Trend zunächst graphisch bestimmt werden( Linearer, exponentieller oder logistischer Trend) um die richtige Formel zu ermitteln.

Beim linearen Trend berechenet man die Strukturparameter a und b mit der Methode der kleinsten Quadrate aus Vergangenheitswerten, um den Prognosewert für die nächste Periode zu ermitteln. Was ich noch logisch nachvollziehen kann:
Formel linearer Trend y=a+b*t

Bei den anderen beiden Trendverläufen mit den Formeln:

exponentiel: y= a+b(hoch t)
logistisch: y= s/ 1-e(hoch a-bt)

bekommen ich den Bogen nicht, wie ich anhand der Vergangenheitswerte und der Likelihood Methode a und b ermitteln kann um den Prognosewert zu ermitteln.

Beispiel für Vergangenheitswerte:
x:1;2,3;4;5;6 (ebenfalls Perioden)
y:1,0;2,0;1,5;1,9;2,5;4,2

Könntet ihr mir dass erklären?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode
Also ich kenne exponentiell eher in der Form , einen additiven Offset allenfalls noch als dritten Parameter, d.h.

Und bei logistisch hast du die Klammern vergessen: Richtig ist hier y = s/(1-e^(a-bt)), in LaTeX

------------------------

Jetzt zum eigentlichen Problem: Wie hast du denn bei linearem Trend den Bogen von Maximum-Likelihood zu MKQ gekriegt? Der fällt ja auch nicht vom Himmel, da geht man normalerweise davon aus, dass die Residuen zentrert normalverteilt mit Varianz sind, also betrachtet man die LogLikelihoodfunktion



Bei der Maximierung betrachtet man wie üblich die partiellen Ableitungen nach allen drei Paramtern:





Die ersten zwei Ableitungen Null gesetzt gelangt man zur üblichen MKQ der linearen Regression.

------------------------

Ok, wenn du das jetzt auf Modelle wie oder übertragen willst, brauchst du eine Modellierung des Trendfehlers.

Nimmst du da beim Exponentialtrend eher , oder doch erst nach Transformation (also durch Logarithmieren) den Rest ? Letzteres lässt sich 1:1 auf lineare Regression zurückführen, ersteres NICHT.

Was ich damit sagen will: Nicht nur der Trendansatz, sondern auch die Modellierung des "Restes" (Residuum) ist entscheidend dafür, was für eine Maximum-Likelihood-Schätzung man am Ende bekommt!
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung exponentieller und logistischer Trends durch die Likelihood Methode
Hallo Arthur,

Danke.
Das ist ganz schön harter Toback, musste mir das gestern mal in Ruhe ansehen. verwirrt
Zum ersten Schritt hab ich bereits nen Haufen Fragen.
1)Für das Verständnis: Residuen sind nicht gleich Störgrößen, richtig? Sondern die Distanz des tatsächlichen Werts zur gezeichneten Funktion, oder?
Das man dann die LogLikelihoodfunktion verwendet, auch soweit klar.
2)Dann hast du mir die 3 ersten Ableitungen nach a,b, Varianz gegeben, richtig? (Kenn die verwendete Schreibweise nicht).
3)Dazu noch eine blöde Frage, wie ist das mit den Ableiten, wenn man diese Summenformeln hat? Hab die noch nie abgeleitet, muss ich da auf was besonders achten?
4)Und die Zahlen setzt ich vor den ableiten ein?
5)Und setze ich dann die Zahlen der gezeichneten Funktion ein oder die tatsächlichen Werte?
Wäre nett wenn du mir das erklären könntest. Muss dich aber vorwarnen: Zum nächsten Teil gibt es bestimmt genauso viele Fragen.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Linne
1)Für das Verständnis: Residuen sind nicht gleich Störgrößen, richtig? Sondern die Distanz des tatsächlichen Werts zur gezeichneten Funktion, oder?

Residuen sind die Differenzen zwischen tatsächlichen Werten und denen gemäß Ansatz ermittelten Werten. Das können sowohl Meßfehler (z.B. durch Rauschen) sein, die wird man nie wegkriegen. Aber es können auch systematische Fehler durch falsche Modellwahl sein. Letzteres will man natürlich vermeiden!

Zitat:
Original von Linne
2)Dann hast du mir die 3 ersten Ableitungen nach a,b, Varianz gegeben, richtig? (Kenn die verwendete Schreibweise nicht).

Das sind die partiellen Ableitungen von LL nach den drei Variablen, ja.

Zitat:
Original von Linne
3)Dazu noch eine blöde Frage, wie ist das mit den Ableiten, wenn man diese Summenformeln hat?

Völlig normal vorgehen: Ableitung der Summe ist Summe der Ableitungen. Für zwei Summanden kennst du das doch, für beliebig viele endliche Summanden ist das auch nicht anders. Und an das Summensymbol solltest du dich schon gewöhnen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Linne
4)Und die Zahlen setzt ich vor den ableiten ein?
5)Und setze ich dann die Zahlen der gezeichneten Funktion ein oder die tatsächlichen Werte?

Versteh ich nicht - welche Zahlen? verwirrt
Und falls du mit "gezeichneter Funktion" dann den Ansatz meinst: Da kannst du noch gar nichts berechnen, da du ja noch gar nicht die dazu notwendigen Koeffizienten kennst - die werden ja gerade erst im Zuge dieses Verfahrens geschätzt!
Linne Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich scheiter schon an den Ableitungen. unglücklich
o=Varianz

nach a
1. Ableitung

2. Ableitung
Produktregel?

nach b
1. Ableitung

2. Ableitung

= 0
Kettenregel?

nach o
1. Ableitung

2. Ableitung

=0
Kettenregel?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es interessieren nur die jeweils ersten Ableitungen nach . Vielleicht habe ich mich oben falsch ausgedrückt:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die ersten zwei Ableitungen Null gesetzt gelangt man zur üblichen MKQ der linearen Regression.

Mit "ersten zwei" meine ich hier die jeweils ersten Ableitungen nach statt aller drei ersten Ableitungen nach . Entschuldige, falls du das in den falschen Hals gekriegt hast, aber ich dachte, das wäre klar: Es geht hier schließlich um Extremwertberechnung einer Funktion mit mehreren Variablen, und das setzt man die "echten" zweiten Ableitungen natürlich nicht Null, die zweiten Ableitungen braucht man allenfalls für die Hesse-Matrix.
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
neuer Versuch
hab die beiden ersten Gleichungen Null gesetzt.

nach a:





nach b:







Ist das so richtig? Und dann berechnet man a und b wir bei der MKQ?

Bzgl. des Trendfehlers, weiß ich leider auch nicht. Welche Methode ist den besser zur Berechnung von Zukunftwerten? Wenn es kein besser gibt, dann bitte das einfachere!

Woher kannst du dass eigentlich so gut? Hab schon voll viele Leute gefragt und es konnte mir keiner erklären.

liebe Grüße
Linne
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
RE: neuer Versuch
Hi Arthur,
bin ich dir irgendwie auf die Füße getreten?

Muss dass bis Freitag morgen können und ich glaub ich bekomm es nicht ohne deine Hilfe hin.

Außerdem ist mir aufgefallen, dass ich a und b in beiden Gleichungen habe und diese ja noch gar nicht weiß..

Kannst du mir bitte bitte bitte helfen?

die verzweifelte Linne
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du bist mir nicht auf die Füße getreten - aber ich kann schon mal einen Thread aus den Augen verlieren. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Arthur Dent


Diese beiden Null gesetzt, ergeben doch gerade die Bestimmungsgleichungen für die Schätzungen von und , denn für sind gegeben, und fällt beim Nullsetzen raus. Schön sortiert ist das nichts weiter als ein lineares GLS 2x2 für die beiden Variablen . Die Formeln, die sich dabei ergeben, sind zufällig (?!) gleich den Formeln, die sich per MKQ ergeben, obwohl der Maximum-Likelihood-Ansatz doch anderer Natur ist.

Nochmal ganz deutlich: Du benutzt nicht zusätzlich MKQ für die Schätzung von , sondern die zu MKQ identischen Schätzformeln ergeben sich hier beim linearen Ansatz zwangsläufig aus dem Maximum-Likelihood-Schätzprinzip.

Was die Modellierung des Trendfehlers bei den anderen beiden Modellen betrifft - ich weiß es wirklich nicht, was da angemessen ist, dazu habe ich mich zu wenig mit solchen Modellen befasst. Aber wie oben bereits gesagt, wenn du im Exponentialansatz statt für den Ansatz selbst eher für die logarithmierte Variante normalverteilte Residuen annimmst, dann lassen sich die Erkenntnisse vom linearen Ansatz 1:1 übertragen, nur eben auf die transformierten Datensätze .


P.S.: So gut weiß ich nun auch nicht Bescheid, wie du an meiner Ratlosigkeit in Bezug auf das logistische Modell merkst. Aber wenn man in Stochastik promoviert hat, sollte man wenigstens ein bisschen über Maximum-Likelihood wissen. Augenzwinkern
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
Glaub ich habs..
Guten Morgen Arthur,

Also, wenn ich die beiden Gleichungen Nullsetze und dann durch Gleichungssysteme 2x2 berechne, bekomme ich





wie bei MKQ? Wobei die tatsächlichen Werte und nicht die Werte der Skizze verwendet werden.

Noch mal bzgl. des Trendfehler, den berechnet man nebenbei, der fließt also nicht mit in die Gleichung, richtig? Sondern zeigt mir nur in wie weit der zu berechnende Wert wahrscheinlich abweichen wird, in die eine oder andere Richtung?

Wird der logistische Trend nicht ebenfalls auf diese Weise ausgerechent?
Hab ich zumindest immer gedacht. Halt nur in eine andere Formel.
Linne Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht vergessen
Hi Arthur,
kannst du kurz noch mal drüber gucken, damit ich das morgen auch kann?

Gruß Linne
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