Beweise über Algebraische Strukturen

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Tanzender Barde Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise über Algebraische Strukturen
Guten Abend zusammen.

Wieder stehe ich bei einem Problem bezüglich algebraischer Strukturen und einem Beweis an. Ganz allgemein fallen mir Beweise (außer der vollständigen Induktion) ungemein schwer, da ich selten weiß, wann der Beweis abgeschlossen ist bzw. ob er "gut so" ist.

Wie auch immer, ich stehe hier vor einer, an sich trivialen, Aufgabe, doch mir fehlt irgendwie der ausschlaggebende Gedanke, deshalb bin ich hier.

Folgende Problemstellung:

Zitat:

Für eine Gruppe (G, *) gilt a * a = a. Zeigen Sie, dass a das neutrale Element sein muss.


Ansich ist das Ganze logisch. Das neutrale Element ist definiert durch:

a * e = a (für die Multiplikation etwa 1, für die Addition 0)

Mein erster Ansatz war folgender:

a * e = a; a * a = a.

a * e = a * a | (Umkehroperation von *)
e = a

Allerdings weiß ich erstens nicht ob der Beweis so gültig wäre und zweitens hab ich keine Ahnung wie ich die Umkehroperation definieren sollte.

Zweite Eingebung:

a * e = a; a * a' = e; a * a = a

Irgendwas müsste man mit dem Inversen doch machen können. Leider komm ich nicht drauf.
Mein Ansatz:

a * a = a * a'

ist ja an sich schon falsch unglücklich

Bitte um Hilfe traurig

Freundliche Grüße
Tanzender Barde
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Ansatz ist gut - und du musst kein inverses Element konstruieren. Du musst nur wissen, ob es eins gibt - tut es das?
Edit: Umkehroperation ist natürlich nicht so gut, und macht nicht viel Sinn - hab da etwas reingelesen, was ich lesen wollte Augenzwinkern
Du hast , nun kannst du darauf Äquivalenzumformungen durchführen.
 
 
Tanzender Barde Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Der erste Ansatz ist gut - und du musst kein inverses Element konstruieren. Du musst nur wissen, ob es eins gibt - tut es das?
Edit: Umkehroperation ist natürlich nicht so gut, und macht nicht viel Sinn - hab da etwas reingelesen, was ich lesen wollte Augenzwinkern
Du hast , nun kannst du darauf Äquivalenzumformungen durchführen.


Und genau da steh ich an. Bitte um Erleuchtung. (Ich mag Beweise nicht. Danach fühlt sich seltenst irgendwas "bewiesen" an unglücklich )
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine Gruppe - du kannst also nur die paar Gesetze anwenden, die in einer Gruppe gültig sind. Welche stehen denn überhaupt zur Auswahl?
Tanzender Barde Auf diesen Beitrag antworten »

Nur das Assoziativgesetz, das neutrale Element und das Inverse (da wir ja keine abelsche/kommutative Gruppe haben)

Ich komm trotzdem nicht auf die Formulierung eines gültigen Beweises. Ich weiß, dass es so sein muss und es ist absolut logisch, aber formal irgendetwas beweisen ist für mich der absolute Mathematik-Horror unglücklich (dazu sei gesagt, dass ich nicht Mathematik studiere und ich den Großteil dieser Konzepte auch erst auf der Uni gelernt habe)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt also ein Inverses zu wie du festgestellt, also können wir dieses Element an die Gleichung dranmultiplizieren:


Das gilt es nur noch etwas zu vereinfachen.
Tanzender Barde Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Entschuldigung für die reichlich späte Rückmeldung.

Danke für deine Mühe, aber ich kann trotz allem keinen schlüssigen Beweis bilden unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis besteht aus 2 Folgepfeilen. Einen habe ich bereits da. Der andere ist nur eine Vereinfachung von dem was da steht. Was ist denn ?
Tanzender Barde Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Der Beweis besteht aus 2 Folgepfeilen. Einen habe ich bereits da. Der andere ist nur eine Vereinfachung von dem was da steht. Was ist denn ?


Lange Leitung meinerseits.

wie krieg ich das a^-1 auf der anderen Seite jetzt weg? Ich kann das Assoziativgesetz anwenden, dann steht da halt


bzw. in weiterer Folge:



Aber gilt das denn schon? Wenn a nicht das neutrale Element wäre, dann müsste da ja stehen:


Aber ist der Beweis damit wirklich schon abgeschlossen? Ich seh das einfach nicht unglücklich

Danke auf jeden Fall Gott
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dort nach dem Vereinfachen
stehen, also , und genau das wolltest du doch zeigen, dass a das neutralle Element ist.
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