Äquivalenzklasse

06.04.2012, 21:40

Domi91

Äquivalenzklasse

Meine Frage:
Hallo.
Folgende Aufgabenstellung habe ich zu bearbeiten:

Man betrachte die Relation $\begin{eqnarray*} p\subseteq \mathbb R X\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,b)p(c,d):\Rightarrow a^{2}+b^{2}= c^{2}+d^{2} \end{eqnarray*}$ ( Der Pfeil soll eig. ein Äquivalenzzeichen darstellen).

Ich soll zeige, dass p eine Äquivalenzrelation ist, und die Äquivalenzklassen geometrisch bestimmen.

Meine Ideen:
Da die Relation sowohl reflexiv symmetrisch und transitiv ist handelt es sich um eine Äquivalenzrelation. Soweit habe ich es geschafft.
Bei der Bestimmung der Äquivalenzklassen habe ich aber so meine Probleme. Ich weiss zwar was eine Äquivalenzklasse ist hab aber irgendwie Probleme die hier zu ermitteln. Würde mich über Hilfe freuen smile

06.04.2012, 21:52

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst alle Paare $\begin{eqnarray*} (a_1,a_2), (b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1^2+a_2^2=b_1^2+b_2^2 \end{eqnarray*}$ . Für welche Paare gilt das?
Stell dir die Paare als Koordinaten im IR² vor. Falls dir nichts einfällt, such einfach mal Werte für a_1 und a_2 aus und schau für welche b_1 und b_2 die obige Gleichung gilt (alle die Paare bilden dann eine Äquivalenzklasse).

06.04.2012, 21:59

Domi91

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt auf alle Fälle wenn ich für a1,a2,b1,b2 über all das selbe einsetze. genau so gilt es wenn ich für a1,a2 (verschiedene) und für b1,b2 die selben Werte einsetze. b1,b2 könnte ich auch drehen und es würde immer noch stimmen. Nur wie soll ich das dann als Klasse formulieren bzw. geometrisch bestimmen?

06.04.2012, 22:05

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

weißt du was du zeigen musst für eine äquivalenzrelation? sie muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein. schau dir einfach die definitionen an und prüfe diese nach, das macht sich hier fast von allein. übrigends sollte p aus IR^2 x R^2 sein (und nicht IR x IR). lg

06.04.2012, 22:39

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht bekommen wir etwas Ordnung hinein, indem wir feststellen, daß
$\begin{eqnarray*} x~\sim~y~:\iff f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ eine ÄR für jede Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Insofern wäre $\begin{eqnarray*} f\colon {\mathbb R}^2 \to \mathbb R~,~f(a,b)=a^2 +b^2 \end{eqnarray*}$ geeignet.
Und damit kommen wir der Zerlegung des $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray*}$ in disjunkte Mengen, genauer: Seine Äq.Klassen auf die Spur ...

06.04.2012, 22:44

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

das ist ja sehr schön, aber wäre es nicht noch schöner wenn wir zu dieser erkenntnis selbst gelangen? lg

06.04.2012, 22:53

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast Du recht. Ich dachte mir, so ein struktureller Tipp hilft, sich zu fokussieren. - Also harre ich mal der Dinge.

06.04.2012, 22:57

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

@susiquad: sicher richtig gedacht, aber ich denke hier gehts erstmal überhaupt ums verständnis, aber wird man dann sehen. lg

06.04.2012, 23:48

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Domi91
Es gilt auf alle Fälle wenn ich für a1,a2,b1,b2 über all das selbe einsetze. genau so gilt es wenn ich für a1,a2 (verschiedene) und für b1,b2 die selben Werte einsetze. b1,b2 könnte ich auch drehen und es würde immer noch stimmen. Nur wie soll ich das dann als Klasse formulieren bzw. geometrisch bestimmen?

So weit so gut, es gibt aber ein paar mehr Elemente in jeder Klasse (beachte, dass alle Variablen aus IR sind) Augenzwinkern

Wenn du a1 und a2 fest legst, kannst du durch geschickte Wahl die linke Seite der Gleichung festlegen, d.h. man sucht alle reellen Paare b1 und b2, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} x=b_1^2+b_2^2 \end{eqnarray*}$ (das x ist fest, die b Werte sind zu finden)
Das ist die gesuchte Lösungsmenge. Jetzt musst du aber schauen, welche Lösungen es für die Gleichung gibt. Tipp: man findet unendlich viele solcher Paare.
Spätestens wenn du ein paar Werte ausprobierst, solltest du auf eine geometrische Interpretation kommen (im Notfall die verschiedenen Paare b1,b2 in ein Koordinatensysten zeichnen).

07.04.2012, 17:39

Domi91

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfestellungen. Ich habs jetzt raus smile

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzklasse

Verwandte Themen