Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht

06.04.2012, 23:28

Fjaroel

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Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht

Ich wollte mir als Übung mal eine Funktion ausdenken die ein Go-Brett zeichnet angepasst an meinen Taschenrechner auf dem ich das Zeichnen kann; die Funktion ist soweit fertig nur dass mir ein Teil fehlt.

Hier mal die Theoretische Lösung die ich hab, als Anschauung:
f(x)= $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \end{eqnarray*}$ x modulo 1*(19* $\begin{eqnarray*} 10^{n} \end{eqnarray*}$ )-(x modulo 1- $\begin{eqnarray*} 10^{(-n)} \end{eqnarray*}$ ))*(19* $\begin{eqnarray*} 10^{n} \end{eqnarray*}$ ))+ $\begin{eqnarray*} (x modulo 1)^{a} \end{eqnarray*}$ )*(x modulo 1- $\begin{eqnarray*} 10^{(-n)} \end{eqnarray*}$ ))*(19* $\begin{eqnarray*} 10^{n} \end{eqnarray*}$ ))
Da ich den Limes auf meinem Taschenrechner nicht umsetzten kann und dass auch eher eine ungenaue Notlösung ist bin ich interessiert ob es für das was ich hier mit dem Limes bewerkstelligt hab keine andere Lösung gibt.
Für meine Frage ist hier nur der Teil nach dem "+" wichtig. In diesem Teil möchte ich einen Faktor 0 oder 1 haben sodass die Addition stattfindet oder nicht; wenn mir x modulo 1 -> ]0,1[ ausgibt soll der Faktor 0 sein und wenn x modulo 1 -> 0 ausgibt soll der Faktor 0 sein.

Anzumerken ist hie noch dass die Lösung möglichst nicht komplexe Definitionen wie "lim" umfassen sollte da ich dies schlecht auf dem Taschenrechner umsetzen kann; wobei mir eine mögliche Lösung lieber ist als gar keine.

Außerdem würde mich hauptsächlich interessieren ob es einen solchen Term gibt; wenn ihr keine Idee habt, dann sind auch andere Lösungswege willkommen.
Ich danke schonmal im Voraus für alle Anmerkungen und Lösungen.

Willkommen

06.04.2012, 23:37

weisbrot

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
vielleicht würden dich signum- oder ceiling-funktion interessieren (edit: bzw. floor-fkt oder gaußklammer). lg

06.04.2012, 23:54

Fjaroel

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
Danke, theoretisch würden beide mein Problem exakt beheben, allerdings hab ich sie in der Praxis auf meinem Taschenrechner nicht oder sie sind sehr stark versteckt. Vieleicht gibt es ja für diese eine Umschreibung aus einfacheren Funktionen.
Ich bin weiterhin gespannt ob jemand in der Richtung noch was weiß. lg Fjaroel

07.04.2012, 00:00

weisbrot

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
ähm, oder vllt sowas: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\cdot x + 1} \end{eqnarray*}$ ist zwar mit grenzwert, aber wenn x=0 ist ist das 1, ansonsten ne nullfolge, also 0. lg

07.04.2012, 00:25

weisbrot

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
macht dein taschenrechner auch für fließkommazahlen ganzzahlige division? also wenn du z.b. 1,5 durch 2 teilst dass du dann 1 erhältst? lg

07.04.2012, 17:12

Fjaroel

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
Hab ich da etwas übersehen oder ergibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\cdot x + 1} \end{eqnarray*}$ bei x = ]0,1[ sowie bei x=0 -> 1?
Und ich habe die "Int" Funktion auf dem Taschenrechner mit der ich auch die Modulo Funktion improvisiert habe. Die wandelt eine Fließkommazahl in eine Ganzzahl um. Das heißt ich kann ihn das so rechnen lassen.
Das hat mich aber darauf gebracht dass ich im Prinzip die Gaußklammer, ceiling Funktion etc. besitze deren Equivalent im Prinzip hier die Int Funktion ist.
Und damit fiel mir eine mögliche Lösung ein.

[x] verwende ich hier für die Ceiling Funktion von x.
[x modulo 1+(1-(1^{(-n)}))] ergibt schonmal aus x=]0,1[ -> 1 und aus x=0 -> 0.
a = [x modulo 1+(1-(1^{(-n)}))
f(a)=a+1-2*a
f(1)=0
f(0)=1

Was meine Frage beantworten dürfte.
Ich danke für eure Hilfe;lg Fjaroel Willkommen

Willkommen

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07.04.2012, 17:21

weisbrot

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RE: Term für Funktion der aus ]0;1[ ->0 UND aus 0 ->1 macht
naja gut wenn du die gaußklammer hast wendest du sie einfach auf (1-x) an, das liefert das gewünschte. wegen dem anderen vorschlag: wenn x nicht 0 ist, dann ist ja 1/(nx+1) ~ 1/(nx) = (1/x)/n - naja und irgendetwas (festes) durch n hat immer grenzwert 0. lg

07.04.2012, 18:24

Fjaroel

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Danke, dass (1-x) hat meine Rechnung um einiges Verkürzt.^^
Allerdings weiß ich nicht ob die Umformung die du gemacht hast so ganz legal sind bei deinem anderen Vorschlag.

f(x)= $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\cdot x + 1} \end{eqnarray*}$

f(]0,1[)=1/(0+1)=1/1=1
f(0)=1/(0+1)=1
Dass waren meine Gedanken dazu.

Allerdings verstehe ich die Umformungen nicht ganz die du da unten gemacht hast; trotzdem stimme ich dir zu dass (1/x)/n=0 ist .
Aber ist es nicht eher so?
$\begin{eqnarray*} 1/(nx+1) \neq 1/(nx) \neq (1/x)/n \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} 1/(xn)=1/0\neq0=(1/x)/n \end{eqnarray*}$

lg Fjaroel

07.04.2012, 18:47

weisbrot

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ich versteh nicht ganz was du da meinst, aber es ist total legal Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielleicht ein missverständnis: a~b bedeutet hier a hat das selbe asymptotische verhalten wie b (also selben grenzwert). aber ist doch klar: für x=0: $\begin{eqnarray*} \lim \frac{1}{nx+1} = \lim \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ und für x in (0,1): $\begin{eqnarray*} \lim \frac{1}{nx+1} = \lim \frac{1}{nx} = \lim \frac{1/x}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .
oder wenn du unbedingt willst, hier der beweis: $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{xn+1}|\leq \frac{1}{xn}<\epsilon \quad \forall n \geq n_0 := \lceil \frac{1}{\epsilon x} \rceil \end{eqnarray*}$ und das gibt es nach archimedischer eigenschaft, denn 1/(x*epsilon) ist positive reelle zahl. lg

08.04.2012, 12:10

Fjaroel

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Das "~" Zeichen kannte ich nicht und habe es in der Tat verwechselt, daher stimme ich dir da zu. Im übrigen habe ich dass Problem deinen Beweis nicht zu verstehen (trotz des benutzens von Google und Wikipedia). Mein vorrangiges Problem ist "epsilon*x"; für was steht epsilon hier? Wenn du mir das beantworten könntest könnte ich vieleicht deinen Beweis verstehen.
Im übrigen gehe ich davon aus dass " $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ " der Allquantor ist.

08.04.2012, 14:22

weisbrot

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der beweis beruht auf der gebräuchlichen definition für konvergenz. epsilon ist irgendeine positive reelle zahl. wenn es für ein beliebiges solches epsilon einen index (n_0) gibt, sodass |a_n - a| < epsilon für alle folgenglieder ab n_0 (d.h. folgenindex n >= n_0), so heißt die folge a_n gegen a konvergent (hier gegen 0). ja und $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ist der allquantor. lg

08.04.2012, 18:12

Fjaroel

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Funktion: $\begin{eqnarray*} \lim \frac{1}{nx+1} \end{eqnarray*}$ habe ich verstanden (ich hatte einen verdammt peinliche Verwechslung gehabt^^). Gott

Gott

Was mich jetzt aber noch interessieren würde, die Funktion die ich vorhatte zu basteln läuft inzwischen zu vollster Zufriedenheit, wäre wie man eine Gleichung mit Gaußklammern löst.

Ich möchte die Umkehrfunktion der Funktion berechnen:
Die bisherige Funktion sieht so aus:
f(x)= $\begin{eqnarray*} ( \lceil \frac{x}{19} \rceil +1-2*\lceil \frac{x}{19} \rceil )*((x-\lceil x \rceil )*190-((x-\lceil x \rceil )-0,1)*190-(\lceil (1-(x-(\lceil x \rceil ))\rceil )*19) \end{eqnarray*}$

x= $\begin{eqnarray*} ( \lceil \frac{y}{19} \rceil +1-2*\lceil \frac{y}{19} \rceil )*((y-\lceil y \rceil )*190-((y-\lceil y \rceil )-0,1)*190-(\lceil (1-(y-(\lceil y \rceil ))\rceil )*19) \end{eqnarray*}$

Für die Umkehrfunktion die ich in den Taschenrechner eintippen könnte müsste ich jetzt diese Gleichung nach y auflösen. Was allgemein schwierig wär, aber machbar, wenn ich wüsste wie man eine Gleichung mit Gaußklammern umformt. verwirrt

verwirrt

Die Funktion hier hab ich nur als Anschaung geschrieben; ich möchte nur wissen wie man eine Gleichung mit Gaußklammern in diesem Fall nach y auflösen kann; ich möchte ja schließlich noch den Spaß haben das Monster umzuformen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
lg Fjaroel

08.04.2012, 18:26

Huggy

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Nur so am Rande: Die Abbildung ]0;1[ ->0, 0 ->1 lässt sich simpel realisieren über Int(1 - x).

08.04.2012, 18:33

Fjaroel

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Ich danke dir dafür aber ...

Zitat:

naja gut wenn du die gaußklammer hast wendest du sie einfach auf (1-x) an, das liefert das gewünschte. wegen dem anderen vorschlag: wenn x nicht 0 ist, dann ist ja 1/(nx+1) ~ 1/(nx) = (1/x)/n - naja und irgendetwas (festes) durch n hat immer grenzwert 0. lg.

lg Fjaroel Willkommen

Willkommen

08.04.2012, 18:47

Huggy

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Hab ich glatt überlesen. unglücklich

unglücklich

08.04.2012, 19:14

weisbrot

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das ist ja soein mischmasch aus treppenfunktion und polynom. ich hab mir mal die mühe gemacht und das in wolfram alpha plotten lassen - ziemlich komisch - aber sieht irgendwie garnicht umkehrbar aus. bei sowas wäre es auch denke ich schwierig das umzukehren; wenn die umkehrbar wäre würde ich mir einfach den graphen angucken und versuchen zu sehen was die umkehrfunktion ist (solange die abschnittsweise irgendwie linear verläuft könnte das auch hinhauen). lg

edit: hätt ich fast vergessen: graph

10.04.2012, 00:29

Fjaroel

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Die Funktion ist an sich auch eigentlich nicht wirklich sinnvoll, am Anfang bleibt sie immer bei 19 und springt bei jeder Ganzzahl zu Null; der Theoretische Graph dazu sieht nicht wirklich spannend aus; an der Stelle hab ich etwas eingespart und die Dummheit meines Taschenrechners ausgenutzt der entweder (soweit ich weiß) alle Punkte miteinander verbindet oder sie einzeln zeichnet. Den Trick ausgenutzt sieht der Graph aus wie viele senkrechte Gitterstäbe die bei 0 und 19 durch einen waagerechten Strich verbunden sind. Da ich mich nicht wirklich mit Umkehrfunktionen auskenne kann ich dir nicht sagen ob sie theoretisch machbar ist oder nicht aber ich würde mal vermuten wenn ich sie so Umstelle wie ich vorhatte dass es dadurch theoretisch nicht gehen dürfte weil sie, wie jede Funktion die hoch und runter schwankt wie die Sinus-funktion, dann theoretisch auf einen Input mehrere Outputs ausspucken würde.

Aber dass habe ich durch eine Funktion meines Taschenrechners eh umgangen der lässt mich einfach die Umkehrfunktion zeichnen (an der Stelle eingeworfen wer sich mit dem Casio fx-9860G auskennt, weiß jemand wie man das im RUN Menü oder als Programm mit dem Inverse Befehl laufen lässt? offiziele Syntax"Inverse <Funktion> (Umkehrfunktion)" ich verstehe nicht was ich für <Funktion> eintippen soll, da ich schon einiges ausprobiert habe.).

Was mich aber noch interessieren würde auch wenn ich es inzwischen nicht Glaube wie kann man eine Gleichung mit Gaußklamern auflösen (gitb es überhaupt das Gegenstück zu Gaußklammer? Ich kann mir darunter nichts vorstellen.)?
lg Fjaroel

10.04.2012, 18:19

weisbrot

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wie gesagt die gaußklammer umkehren kannst du nicht, aber du kannst natürlich die lösungen von gleichungen mit gaußklammern finden. z.b. sowas wie $\begin{eqnarray*} c=\lceil f(x) \rceil \end{eqnarray*}$ - da suchst du halt alle x für die f(x) in (c-1,c] liegt; das kannst du dann sicherlich auf komplexere gleichungen erweitern wenn du dich ein näher damit beschäftigst (was ich nicht getan hab) - du benutzt eben die definition und auch vllt. irgendwelche identitäten mit der gaußklammer - einen allgemeinen lösungsweg kann ich dir aber nicht sagen. lg

11.04.2012, 09:43

Fjaroel

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Danke, ich werde das mal ausprobieren, auch wenn ich inzwischen glaube dass ich das nicht hinkriegen werde, allein weil es hier unmöglich ist^^
lg Fjaroel

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