Beweis: Rekursive Folge ist monoton fallend

06.04.2012, 23:48

Beweis: Rekursive Folge ist monoton fallend

Ich muss im Zuge einer Aufgabe zeigen, dass die Folge

$\begin{eqnarray*} a_0=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{3+a_{n-1}},n \in N^{+} \end{eqnarray*}$ (wie macht man das N in Latex?)

monoton fallend ist. Leider habe ich dafür überhaupt keinen Ansatz. Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

06.04.2012, 23:50

weisbrot

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RE: Beweis: Rekursive Folge ist monoton fallend
ansatz: vollständige induktion über n.

IN: "\mathbb N"

lg

06.04.2012, 23:51

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RE: Beweis: Rekursive Folge ist monoton fallend
Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{3+a_{n-1}} \le a_{n-1} \end{eqnarray*}$ komme ich nicht sehr weit...

06.04.2012, 23:53

Che Netzer

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RE: Beweis: Rekursive Folge ist monoton fallend
Das geht z.B. über Induktion.

Das $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ erzeugt man mit \mathbb N.

mfg,
Ché Netzer

07.04.2012, 00:06

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Also wie folgt?

Anfang:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+4} \le 4 \end{eqnarray*}$

Annahme:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+a_0} \le a_0 \end{eqnarray*}$

Damit würde ich ja bloß zeigen, dass es über $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, wir sind aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ...

Sorry, ich bin echt Anfänger.

07.04.2012, 00:16

weisbrot

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ja, die folgenglieder sind in IR, aber die indizes sind natürliche zahlen, und über die machst du induktion. und um monotonie zu zeigen musst du $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ zeigen. also - ind.anfang: $\begin{eqnarray*} a_1 \leq a_0 \end{eqnarray*}$ ... lg

07.04.2012, 00:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von weisbrot also - ind.anfang: $\begin{eqnarray*} a_0 \leq a_1 \end{eqnarray*}$

Natürlich andersrum Augenzwinkern

07.04.2012, 00:19

weisbrot

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@che netzer: gut aufgepasst, test bestanden Augenzwinkern

ich editiers. lg

07.04.2012, 00:31

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Aaaah, ich hab's! Danke! ;D

Anfang:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+4} \le 4 \end{eqnarray*}$

Annahme:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+a_{n-1}} \le a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Induktion:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+a_n} \le a_n \sqrt{3+\sqrt{3+a_{n-1}}} \le \sqrt{3+a_{n-1}} 3+\sqrt{3+a_{n-1}} \le 3+a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Muss man hier ein schlechtes Gewissen haben, wenn man ständig nur fragt? Man wird mich in der nächsten Woche wohl noch öfter sehen... Klausur Tanzen

07.04.2012, 00:36

weisbrot

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ok, schön; aber vielleicht solltest du bei n-1 anfangen, also den ind.schritt "andersrum" aufschreiben, und mit äquivalenzpfeilen und begründungen (a_n positiv für alle n und monotonie der wurzelfunktion) dazwischen Augenzwinkern

. lg

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