ln(1+x), Taylor

07.04.2012, 09:51

Springpony

ln(1+x), Taylor

Wie viele Glieder der Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1 + x) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$
müssen ausgewertet werden, damit f an der Stelle x = 1/2 bis auf einen
Fehler von 1% approximiert wird?

Taylorreihe f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k \end{eqnarray*}$
Restglied $\begin{eqnarray*} R_n (x) =\frac{(-1)^{n+1}}{n*(1+\epsilon)^n} x^n \end{eqnarray*}$

Taylorreihe ausgewertet bei x=1/2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k*2^k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ liegt zwischen $\begin{eqnarray*} 0 und \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_n (x) \leq 0,01 \end{eqnarray*}$
n ist gesucht.
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Wie schätze ich nun am besten ab um n zu finden?
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n+1}}{n*(1+\epsilon)^n} 1/2^n \end{eqnarray*}$

07.04.2012, 11:22

thk

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RE: ln(1+x), Taylor
Hallo Springpony,

Zitat:

Original von Springpony
Taylorreihe f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k \end{eqnarray*}$

die Taylorreihe entsteht durch gliedweise Integration der Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ . Bis auf die Division durch Null stimmt sie aber.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k = x-\frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3-+... \end{eqnarray*}$

Am einfachsten ist es doch, erst einmal |ln(3/2) - P(1/2)| für das Taylorpolynom P nter Ordnung zu berechnen.

07.04.2012, 11:49

Springpony

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Ich versteh deinen angegebenen Weg nicht, kannst du mir erklären was du genau vorhast?

Liebe Grüße

07.04.2012, 12:08

thk

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Du kannst erst einmal ausrechnen, bis zu welchem Glied du entwickeln musst, damit der Fehler <1% ist.

ln(3/2)=0.405465...

Nimm z.B. $\begin{eqnarray*} P_6=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_6(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ = 0.4046875 = 259/640

Jetzt berechnest du den relativen Fehler. Der läge hier schon bei rund 0,2% smile

07.04.2012, 12:16

Springpony

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Ah, okay
Wieso SCHON bei 0,2 %, wenn wir einen Fehler von < 1% machen dürfen. können wir doch n noch vergrößern.

07.04.2012, 12:26

thk

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Du meinst sicher "n ist groß genug". Du kannst prüfen, ob ein kleineres n auch schon ausreicht für einen rel. Fehler von <1%. Mit n>=6 ist man also auf der sicheren Seite. Reicht n=5 oder sogar n=4?

07.04.2012, 12:51

Springpony

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Ui, ein kleineres n passt nach meiner Rechnung nicht.
LG

07.04.2012, 12:56

thk

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Ach nein??

n=4 schrammt nur gaaanz knapp am Limit vorbei. Was bekommst du denn für n=5?

07.04.2012, 13:06

Springpony

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Ich habe mich glaub ich vorhin vertippt
Jetzt bekäme ich 0,4505116 %. ALso funktioniert es auch noch.

07.04.2012, 13:21

thk

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Ja, man kommt bei n=5 auf 0,45048...% Für den Taschenrechner ist dein Wert ok. Bei n=4 wären es zu große 1,0909...%.

Die Restgliedabschätzung musst du nochmal prüfen.

Bin dann erst mal off. Wünsch dir noch n schönen und stressarmen Ostersamstag

LG

07.04.2012, 14:05

Huggy

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RE: ln(1+x), Taylor

Zitat:

Original von thk
Am einfachsten ist es doch, erst einmal |ln(3/2) - P(1/2)| für das Taylorpolynom P nter Ordnung zu berechnen.

So ist die Aufgabe sicher nicht gemeint. Man soll den Fehler abschätzen ohne Kenntnis des exakten Grenzwertes. Für x = 1/2 hat man eine alternierende Reihe mit dem Betrag nach monoton fallenden Summanden. Statt des allgemeinen Restgliedes für Taylorreihen kann man da benutzen, dass der Fehler kleiner ist als der Betrag des ersten vernachlässigten Summanden.

07.04.2012, 22:48

thk

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RE: ln(1+x), Taylor

Zitat:

Original von Huggy
So ist die Aufgabe sicher nicht gemeint. Man soll den Fehler abschätzen ohne Kenntnis des exakten Grenzwertes.

Hier geht es doch nicht um einen Grenzwert ! Der ist n. V. ln(3/2).

Zitat:

Original von Huggy
Für x = 1/2 hat man eine alternierende Reihe mit dem Betrag nach monoton fallenden Summanden.
Statt des allgemeinen Restgliedes für Taylorreihen kann man da benutzen, dass der Fehler kleiner ist als der Betrag des ersten vernachlässigten Summanden.

Wir reden ja auch über eine konvergente Reihe.
Die Fehlerabschätzung auf Grund ihres Alternierens ist zwar elegant; ein zuverlässiger Schluss auf das richtige n mit Fehler <1% lt. Aufgabe ist aber Glückssache Augenzwinkern

08.04.2012, 08:40

Huggy

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RE: ln(1+x), Taylor
Es ist bei solchen Aufgaben generell unzulässig anzunehmen, man habe ein Orakel (Taschenrechner), das einem den Reihenwert, hier den numerischen Wert von ln(3/2), liefert. Die Fehlerabschätzung muss direkt aus der Reihe erfolgen und sie ist dann auch zuverlässig in dem geforderten Sinne, dass für alle n >= dem berechneten Wert die Partialsummen die geforderten Genauigkeit haben. Bei der Orakelmethode ist das dagegen nicht gesichert. Es kann dabei durchaus passieren, dass die Partialsummen nicht für alle höheren n die geforderte Genauigkeit haben.

08.04.2012, 10:11

thk

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RE: ln(1+x), Taylor

Zitat:

Original von Springpony
Wie viele Glieder der Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1 + x) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$
müssen ausgewertet werden, damit f an der Stelle x = 1/2 bis auf einen
Fehler von 1% approximiert wird?

Wenn eine Aufgabe so konkret gestellt wird, dann muss man sich auch daran halten. Wenn etwa für tech. Zwecke die ln gegen eine Poly. ausgetauscht werden soll mit vorgeg. Fehlertoleranz, sind allg. Erwägungen rein "mathematisch" (:= langwierig + zweifellos richtig + völlig sinnlos )

Konkret:
Würde die vorgegebene Fehlertoleranz statt der gegebenen 1% nun 1,1% betragen, so wäre deine Lösung falsch. Beim Abbruch nach 4. Ordnung ergibt deine Methode einen rel. Fehler von 1,54...%, während er bei 1,09...% liegt.
Daher schrieb ich, dass du bei 1% Glück hast.

Ginge es etwa nur um eine grobe Abschätzung des Restfehlers, wäre dein Einlass ja voll in Ordnung!!

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