Quadrat in Körpererweiterung

07.04.2012, 11:18	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrat in Körpererweiterung Meine Frage: Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgendem Beweis: Seien $\begin{eqnarray} F \subset K \end{eqnarray}$ endliche Körper mit $\begin{eqnarray} \left[ K:F\right] =3 \end{eqnarray}$ Zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} a \in F \end{eqnarray}$ kein Quadrat in F ist, es auch in K kein Quadrat ist. Meine Ideen: Ich dachte an einen Widerspruchsbeweis.Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in K ein Quadrat ist, aber keines in F und zeige dann, dass das nicht geht. Ich schreibe also $\begin{eqnarray} a=k^2 \end{eqnarray}$ und stelle es bezüglich der Basis dar: $\begin{eqnarray} k= \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2} +\lambda_{3}v_{3} \end{eqnarray}$ . Dann bekomme ich $\begin{eqnarray} k^{2}= \lambda_{1}^2v_{1}^2+\lambda_{2}^2v_{2}^2 +\lambda_{3}^2v_{3}^2 + 2(\lambda_{1}\lambda_{2}v_{1}v_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}v_{1}v_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3}v_{2}v_{3}) \end{eqnarray}$ . Und das ist der Punkt, wo ich nicht weiterkomme. Dies müsste ja jetzt auch ein Quadrat in F sein, damit ich zu meinem Widerspruch komme... Oder gibt es einen besseren Ansatz?
07.04.2012, 11:38	Spezies8472	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Erweiterunggr. [F(k):F] hätte F(k)? Welche Zwichenkörper hat F/K?
07.04.2012, 11:43	xlynax	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise F(k) kenne ich gar nicht. Was ist das denn?
07.04.2012, 12:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist so gemeint: Wenn $\begin{eqnarray} a = k^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in F \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} k \notin F \end{eqnarray}$ gilt, so hat man ja 2 Körpererweiterungen: $\begin{eqnarray} F \subset F[k] \subset K \end{eqnarray}$ . Dabei ist F[k] der kleinste Oberkörper von F, der k (also die Wurzel aus a) enthält. Da K nach Annahme k enthält, ist dieser Körper natürlich in K enthalten. Nun schau dir mal die Erweiterungsgrade beider Körperweiterungen an.
07.04.2012, 12:34	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo xlynax, mit F(k) ist natürlich eine körpererweiterung gemeint, also der körper F erweitert um das einfache element k. Und wenn man hier über die zwischenkörper argumentiert, sollte man an den gradsatz denken... gruss ollie3

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »