Kritische Stellen f(x,y,z) ?

07.04.2012, 11:27

SveLaEmRoHHUDü

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Kritische Stellen f(x,y,z) ?

Meine Frage:
Ich weiß nicht wie genau ich weiter vorgehen soll um diese Aufgabe zu lösen.

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)= xyz²-xy²+z² \end{eqnarray*}$

Danke schon mal für eure Hilfe.

Meine Ideen:
Meine Ideen bisher sind folgende:
1. Gradient:
--> $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}= yz^2-y^2 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}=xz^2-2xy \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dz}=2xyz+2z \end{eqnarray*}$

2. Diese Gleich 0 setzen:
--> 2.1 $\begin{eqnarray*} yz²-y²=0 \end{eqnarray*}$

--> 2.2 $\begin{eqnarray*} xz^2-2xy=0 \end{eqnarray*}$

--> 2.3 $\begin{eqnarray*} 2xyz+2z=0 \end{eqnarray*}$

3.Kritische Stellen finden,... aber wie mach ich das richtig bei einem LGS mit drei Variablen?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y(z^2-y)=0 \Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(z^2-2y)=0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2z(xy+1)=0 \Rightarrow z=0 \end{eqnarray*}$

Aber sind das "Restlos alle" kritischen Stellen?

4. Zweite Ableitungen bilden!

5.Hesse Matrix?
Muss ich die Hesse Matrix auch bei 3 Variablen benutzen und wenn ja wie muss ich die richtig gestalten aus?

6. Aussage!

07.04.2012, 11:38

IfindU

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Bis zur kritischen Stelle finden, passt alles. Du solltest für jede Gleichung genau aufschreiben, wann sie 0 wird. Für die erste heißt es "y = 0" oder "z^2 = y". Dann musst du alle Fälle betrachten.

Du kannst nämlich leicht sehen, dass auch (1,0,0) eine kritische Stelle ist (von "vielen" die du übersehen hast.

Ich weiß nicht was deine Aufgabe genau ist, aber wenn du nur die kritischen Stellen bestimmen sollst, warum dann noch Schritt 4 und 5?

07.04.2012, 11:45

SvelAEmRoHHUDü

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
Hesse Matrix habe ich gefunden, aber der Rest bleibt wie gehabt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gibt es irgendein System nachdem ich bei LGS vorgehen kann um keine Stelle untergehen zu lassen? Rein erfahrungsgemäß? ;P

Also die exakte Aufgabenstellung lautet:

"Berechnen Sie alle kritischen Stellen von f(x,y,z)".

Schritt 4 und 5 sind doch nötig um herauszufinden ob es zum einen wirklich eine kritische Stelle ist oder nciht und zum anderen was für eine kritische Stelle es ist (Hoch-,Tief-,Sattelpunkt etc.) oder nicht?

Lieben Gruß

07.04.2012, 11:49

IfindU

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
Wie gesagt, alle Bedingungen aufstellen, eine Einsetzen, nachsehen welche Konsequenzen es hat (wie die Gleichungen danach aussehen), und gucken welche Bedingungen sich jetzt noch stellen.

Ich kenn die Definition der kritischen Stelle, dass der Rang der Ableitung (hierbei) 0 ist, und das erfüllt nur der Nullvektor.
Und wie gesagt, wenn du die Infos brauchst, ob es ein Extremum usw. ist, dann solltest du es machen. Aber der einzige Ansatz einer Aufgabenstellung ist im Threadtitel "Kritische Stellen von f", und um die rauszufinden, braucht man keine 2. Ableitung.

07.04.2012, 11:59

Mystic

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Zitat:

Original von IfindU
Dann musst du alle Fälle betrachten.

Sorry, wenn ich mich da einmische, aber bei solchen Aufgaben ist die "richtige" Fallunterscheidung sehr wichtig (obwohl natürlich "viele Wege nach Rom führen")...

Für diese Aufgabe ist es m.E. am besten, nur die 2 Fälle $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ (und damit natürlich sofort auch $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \ne 0 \end{eqnarray*}$ ) überhaupt zu betrachten...

07.04.2012, 12:04

IfindU

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Kein Problem, Mysic. Hab das schon seit Ewigkeiten nicht mehr gemacht, und konnte spontan nicht besonders viel ausschließen. Und ich dachte als allgemeines Rezept ist "Alles durchprobieren" nicht so schlecht, insb. wenn man erst noch ein Auge für so Sachen bekommen muss.

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07.04.2012, 12:11

SveLaEmRoHHUDü

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Also meiner Meinung nach sind dies alle Möglichen Varianten:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=z^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y=z^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=\frac{z^2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Muss ich bei 4. 5. und 6. beide ausprobieren oder reicht einer der äquivalenten Fälle?

07.04.2012, 12:14

IfindU

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Sie sind äquivalent, also reicht eine der Beiden. Alternativ schau dir Mystics Abkürzung an, wenn du nicht alles einzeln durchhacken willst.

07.04.2012, 12:50

SveLaEmRoHHUDü

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Bitte sagt mir, dass das richtig ist. smile

smile

Lösung: Kritische Stellen existieren an folgenden Punkten:

$\begin{eqnarray*} (x,0,0) \end{eqnarray*}$ wobei x frei wählbar aus den reellen Zaheln ist!

Lieben Gruß

07.04.2012, 12:58

IfindU

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Wenn ich nun auch keine übersehen haben, stimmt es Freude

Freude

07.04.2012, 13:03

SveLaEmRoHHUDü

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Perfekt, danke für die Hilfe Big Laugh

Big Laugh

Kann man mit Hilfe der Hesse Matrix jetzt auch ALLGEMEIN für den Punkt (x,0,0) schauen was sich da entlang der x - Achse abspielt?

07.04.2012, 13:04

Mystic

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Zitat:

Original von SveLaEmRoHHUDü
Lösung: Kritische Stellen existieren an folgenden Punkten:

$\begin{eqnarray*} (x,0,0) \end{eqnarray*}$ wobei x frei wählbar aus den reellen Zaheln ist!

Interssant wär natürlich jetzt schon, wie du da jetzt drauf gekommen bist...Immerhin gibt es ja da noch die Möglichkeit von falschen Schlüssen, die dann zu richtigen Lösungen führen...

07.04.2012, 13:05

IfindU

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@Mystic: Wenn du schon da bist, ich muss gleich weg - kannst du den Thread übernehmen?

07.04.2012, 13:10

SveLaEmRoHHUDü

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Ich habe alle Möglichkeiten ausprobiert und immer festgestellt, dass ich um y=0 und z=0 nicht herum komme oder die LGS nicht aufgeht und irgendeinen Rest in ähnlichen Formen von $\begin{eqnarray*} xy=0 \end{eqnarray*}$ , [latex}]xz^2=0[/latex] oder so hatte, da war es dann logisch wenn x und y Null sein müssen, dass es egal ist was x für einen Wert besitzt.

07.04.2012, 13:18

Mystic

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Zitat:

Original von IfindU
@Mystic: Wenn du schon da bist, ich muss gleich weg - kannst du den Thread übernehmen?

Ok, mach ich gern... Wink

Wink

Zitat:

Original von SveLaEmRoHHUDü
Ich habe alle Möglichkeiten ausprobiert und immer festgestellt, dass ich um y=0 und z=0 nicht herum komme oder die LGS nicht aufgeht und irgendeinen Rest in ähnlichen Formen von $\begin{eqnarray*} xy=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} xz^2=0 \end{eqnarray*}$ oder so hatte, da war es dann logisch wenn x und y Null sein müssen, dass es egal ist was x für einen Wert besitzt.

Klingt für mich alles ein bißchen vage... Sauber wäre die von mir vorgeschlagene Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \ne 0 \end{eqnarray*}$ gewesen, wobei der 2. Fall dann in einfacher Weise auf einen Widerspruch führt...

Und ja, du musst jetzt die Hessematrix bilden, und zwar als Funktion von x allein, indem du darin y=z=0 setzt...

07.04.2012, 13:23

SveLaEmRoHHUDü

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Ja gut, ich sollte hinzufügen, dass ich Mathematische Methoden der Physik höre und ein exakter Widerspruchsbeweis nicht von Nöten ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten hast du natürlich Recht. In Analysis wäre das so nicht durch gegangen, aber trotzdem danke dafür. In Analysis denk ich dran. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich probier mich mal an der Hesse Matrix um zumindest zeigen zu können das es auch eine Extremstelle ist.

07.04.2012, 15:12

Wheatstone

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
Arg was mach ich denn jetzt? Die Determinante der Hessematrix ergibt Null! So einen Fall hatte ich bisher noch nicht.

Bin SveLaEmRoHHUDü

Lieben Gruß

07.04.2012, 17:17

Mystic

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?

Zitat:

Original von Wheatstone
Arg was mach ich denn jetzt? Die Determinante der Hessematrix ergibt Null! So einen Fall hatte ich bisher noch nicht.

Ja, das macht die Sache dann erheblich komplizierter... Welche Eigenwerte bekommst du denn raus für die Hessematrix in den Punkten (x,0,0)?

07.04.2012, 21:58

Wheatstone

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2x & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also ich habe ja jeweils die zweiten Ableitungen in der Hesse Matrix stehen. Dort gebe ich dann (x,0,0) ein und dann ergibt sich die o.g. Matrix. Und die Determinante ist halt Null.

07.04.2012, 22:12

Mystic

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
Nun ja, wenn man statt x hier lieber $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ schreibt, so sind dann $\begin{eqnarray*} 0, -2\xi, 2 \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte der Hessematrix im stationären Punkt $\begin{eqnarray*} (\xi,0,0) \end{eqnarray*}$ ... Welche Aussagen bezüglich Definitheit ergeben sich daraus?

07.04.2012, 22:29

Wheatstone

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RE: Kritische Stellen f(x,y,z) ?
Und ab jetzt hast du mich^^
Im Skript hab ich lediglich eine Anleitung dafür stehen, welche Rückschüsse ich ich je nach Determinante ziehen kann. Bei D=0 sollte man sich höher Ableitungen betrachten oder andere Überlegungen anstellen...
Ich versuche mal herauszufinden was es mit der Definitheit auf sich hat um wieder halbwegs mit dir kommunizieren zu können. xD

07.04.2012, 22:35

Wheatstone

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Hm ok, also eine symmetrische und quadratische Matrix ist INDEFINIT falls positive und negative Eigenwerte vorhanden sind. Soweit bin ich. Aber was mir das jetzt sagt, weiß ich noch nicht.

07.04.2012, 22:58

Wheatstone

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Moment mal...

Für alle $\begin{eqnarray*} x\leq0 \end{eqnarray*}$ ist die Matrix positiv semidefinit.

Für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist die Matrix indefinit.

Somit ist für mich nur der positiv semidefinite Teil Relevant.

Die Definitheit soll mir sagen welche Werte eine Matrix erzeugen kann, also positiv oder negativ?! Nur wie darf ich das verstehen? Gepflegtes halbwissen grade.

07.04.2012, 23:27

Wheatstone

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Ok, die semidefinite Sache bringt hier aber keine Aussage.
Deswegen soll ich mir alle Hauptminoren ansehen...

$\begin{eqnarray*} M_1=(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2x & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} detM_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} detM_2=-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} detM_3=0 \end{eqnarray*}$

Diese Hesse Matrix ist jetzt negativ definit, wenn die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren... Da M1 und M2 gleich Null sind GLAUBE ich, dass dies nicht als positiv hinnehmbar ist, also fällt dies weg.

Die Hesse Matrix ist positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind. Trifft hier auch nicht zu. Und alle negativ eben sowenig.

Also was ist mit f(x) eigentlich los? verwirrt

verwirrt

08.04.2012, 00:02

Mystic

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Naja, für $\begin{eqnarray*} \xi >0 \end{eqnarray*}$ ist die Matrix indefinit, also liegen da Sattelpunkte, für $\begin{eqnarray*} \xi <=0 \end{eqnarray*}$ ist sie positiv semidefinit, danach kann man nur Maxima definitiv ausscheiden... Ob es Minima oder Sattelpunkte sind, darüber gibt die Hessematrix dann leider keine Auskunft mehr...

Edit: Was in aller Welt willst mit den Hauptminoren, wenn man hier die Eigenwerte so leicht bestimmen kann? Bei semidefiniten Matrizen "funktioniert" das gewohnte Hauptminorenkriterium außerdem nicht mehr...

08.04.2012, 03:33

Wheatstone

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Heißt das generell, dass indefinit = Sattelpunkte sind?
Und semi dass es ein Sattelpunkt sein kann?

08.04.2012, 08:35

Mystic

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Zitat:

Original von Wheatstone
Heißt das generell, dass indefinit = Sattelpunkte sind?

Ja, das heisst es...

Zitat:

Original von Wheatstone
Und semi dass es ein Sattelpunkt sein kann?

Ja, und falls es positiv (bzw. negativ) semidefinit ist, aber nicht zugleich negativ (bzw. positiv) semidefinit, so kann es sich, falls es doch ein Extremum ist, nur mehr um ein Minimum (bzw. Maximum) handeln...

12.04.2012, 22:40

Wheatstone

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Ok Kommando halbwegs zurück! War ja nett, dass der Prof nur Blatt 1 ausgeteilt hat und auf dem zweiten Stand, dass wir alle kritischen Stellen auf dem Gebiet
$\begin{eqnarray*} [-1,1]^3 \end{eqnarray*}$ berechnen sollen...

Was meint er denn mit dem Gebiet?

12.04.2012, 22:58

Mystic

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Naja, ist das nicht klar? Für x,y,z sind nur Werte aus dem Intervall [-1,1] zugelassen... Insbesondere sind dann natürlich auch noch Randextrema möglich, wo die partiellen Ableitungen also nicht alle verschwinden...

Edit: Es ist aber auch der Fall $\begin{eqnarray*} \xi \le 0 \end{eqnarray*}$ von oben noch nicht entschieden, da könnten noch Minima oder Sattelpunkte sein...

13.04.2012, 01:41

Wheatstone

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Naja ok selbst im Bereich $\begin{eqnarray*} [-1,1]^3 \end{eqnarray*}$ gilt ja das, was ich oben bisher herausgefunden habe...

Also muss ich mir nochmal $\begin{eqnarray*} -1\leq\xi\geq1 \end{eqnarray*}$ anschauen.

$\begin{eqnarray*} 0<\xi\leq1\Rightarrow \end{eqnarray*}$ indefinit, also Sattelpunkte.
$\begin{eqnarray*} -1<\xi\leq0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Unklar ob Sattelpunkt oder Minima...

Soweit bin ich doch richtig oder?

Wie finde ich jetzt heraus was für Punkte für
$\begin{eqnarray*} -1<\xi\leq0 \end{eqnarray*}$
vorliegen?

Dass mit den Randbedingungen leuchtet mir auch ein, jedoch wüsste ich nicht mehr wie ich diese Ermitteln kann... Muss ich mir dann irgendwie nur die Steigungen der Ränder anschauen? Quasi
$\begin{eqnarray*} (1,1,1) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (-1,-1,-1) \end{eqnarray*}$
?

13.04.2012, 08:48

Mystic

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Hm, du fasst jetzt nur zusammen, was wir bisher herausgefunden haben und stellst dazu eine Reihe von Fragen ohne auch nur die Spur einer eigenen Idee... Irgendwas dazu sollte jetzt schon auch von dir kommen... unglücklich

unglücklich

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