Beweise zu Produktwahrscheinlichkeitsraum

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise zu Produktwahrscheinlichkeitsraum
Guten Tag

Es geht um diese Aufgabe:

Mit dem Wahrscheinlichkeitsraum sei die Abbildung wie folgt definiert:




Man zeige, dass:
1. ist messbar
2. das Lebesgue-Mass ist


ist die Potenzmenge von
Das P in der Aufgabe 2 hat mit diesem P aber nichts zu tun.

Ende Aufgabe

Dieses Kreuzprodukt ist eine Art unendlicher Produktraum. Es kann als unendlicher Münzwurf aufgefasst werden und in der Vorlesung gaben wir die Wahrscheinlichkeiten



Ich habe bisher noch nicht wirklich viel Ahnung, wie ich das lösen soll:

Bei 1) ist bswpweise


und

aber wie ich da konkret argumentieren kann, dass das Urbild immer in ist, ist mir unklar.

Bei 2 verstehe ich nicht, wie dieses P dort gemeint ist? Die Wahrscheinlichkeit von ?

Weiss da jemand weiter?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, mit ist die Verteilung der meßbaren Funktion gemeint, also das Bildmaß von unter .



(Bei Zufallsvariablen ist das eine mögliche Notation für die Verteilung. Eine andere ist .)




Was die Meßbarkeit betrifft, so wäre meine erste Idee gewesen, mir die Borel-sigma-Algebra auf zu überlegen und dann zu zeigen, daß das Urbild jeder Borelmenge in der sigma-Algebra des gegebenen Wahrscheinlichkeitsraums liegt.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Zitat:
Was die Meßbarkeit betrifft, so wäre meine erste Idee gewesen, mir die Borel-sigma-Algebra auf zu überlegen und dann zu zeigen, daß das Urbild jeder Borelmenge in der sigma-Algebra des gegebenen Wahrscheinlichkeitsraums liegt.

Ich kann beispielsweise für konkrete Intervalle berechnen:

aber wie mache ich das für ein beliebiges Interval
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich kann beispielsweise für konkrete Intervalle berechnen:




Wie kommst Du auf dieses Ergebnis?

Edit: Also, was ich damit sagen will:

Mach doch eine Fallunterscheidung:

Welche Borelmengen kann es denn überhaupt geben? Und dann schau' (wie bei Deinem Beispiel) jeweils, ob die Urbilder in der sigma-Algebra des gegebenen W.-Rams liegen.


Also zum Beispiel:

, falls , wobei .



Bestimmt gibt es auch eine andere Herangehensweise an den Beweis. Mir fällt aber kein anderer ein, vllt. ja einem anderen User?
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Erstmal nur der Fall





Wie kann ich das jetzt sinnvoll darstellen?

Grüsse
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir selbst leider nicht mehr allzu sicher, ob mein Vorschlag wirklich gut ist.

Ich würde aber meinen:

 
 
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

ähm bist du sicher, dass das ein beweis ist? b muss ja beliebig sein...

(?)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber b ist doch beliebig.

Edit: Es geht hier um den Fall, daß .
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Aber b ist doch beliebig.

Edit: Es geht hier um den Fall, daß .
Danke, habs glaubs begriffen.

Dein Vorschlag oben kann man auch bis weiterziehen.

Andererseits ist

Dann ist für in dieser Sigma-Algebra, womit dann ein Erzeugendensystem drin liegt und somit die Messbarkeit bewiesen ist, wenn man noch ausführt, warum die hier verwendeten Mengen drin sind.


Was meinst du zu dieser Argumentation?

Hast du vlt. noch einen Tipp, wie ich die 2. hinbringe? Wie berechne ich eine solche Verteilung?

Grüsse und schönen Abend
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe, meine Idee war folgende:

Die Borel--Algebra auf ist die kleinste -Algebra, die die bezüglich offenen Mengen enthält, also von diesen erzeugt wird; die offenen Mengen bezüglich sind die offenen Mengen auf (bezüglich der euklidischen Metrik), geschnitten mit , also die Mengen aus der natürlichen Topologie auf , geschnitten mit (Spurtopologie):




Wenn man jetzt zeigen kann, daß die Urbilder aller Elemente aus in der -Algebra des gegebenen Wahrscheinlichkeitsraums stammen, hat man m.E. die Meßbarkeit gezeigt.

Also, so dachte ich mir, schaut man sich einfach an, was für Mengen denn in sein können und da ist m.E. eine Fallunterscheidung (nach der Form von nötig.


Da kommen beispielsweise in Frage:



wobei jeweils

(Ich bin kein Meister der Fallunterscheidungen, kann gut sein, daß da einige Fälle zusammengefasst werden können.)




Vielleicht meintest Du es in diese Richtung und ich habe es nur nicht kapiert.

--------------

Was die Verteilung angeht, so gilt:



Dies ist dann Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Ereignisraum .
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2)
Wie kann ich das konkret hinschreiben?

Grüsse
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Du sollst ja zeigen, daß so, wie ich es oben formuliert habe, mit dem Lebesgue-Maß übereinstimmt.

Ich denke, es läuft darauf hinaus zu verwenden, daß ein Maß bereits durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem eindeutig festgelegt ist (Maßfortsetzungssatz von Carathéodory).


Edit: Was soll eigentlich das für ein Maß sein?

Ich habe gerade nochmal darüber nachgedacht und vielleicht kommt man hier auch mit dem Maßeindeutigkeitssatz weiter! Das Lebesgue-Maß und sind m.E. beide -endlich und es bliebe nur zu überprüfen, ob beide Maße auf einem schnittstabilen Erzeuger (da müsste man die Mengen aus der Spurtopologie nehmen können) übereinstimmen. Dann würde schon die Identität beider Maße folgen.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010Edit: Was soll eigentlich das für ein Maß sein?
Das ist das Produktmass. Also



Verstehe deine Argumentation mit der Spurtechnologie nicht wirklich... traurig
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine einfach den Maßeindeutigkeitssatz:

Zwei sigma-endliche Maße sind identisch, wenn sie auf einem schnittstabilen Erzeuger übereinstimmen.

Beide Maße sind sigma-endlich und die Mengen der Spurtopologie (also die offenen Mengen auf [0,1]) bilden ja einen Erzeuger der Borel-sigma-Algebra auf [0,1].


Wenn man also zeigen kann, daß und das Lebesgue-Maß auf diesem Erzeuger übereinstimmen, sind sie identisch. (Natürlich muss vorher noch bestätigt werden, daß beide Maße wirklich sigma-endliche Maße sind.)
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