Gauss-Quadratur und ihre Gewichte |
| 07.04.2012, 15:13 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gauss-Quadratur und ihre Gewichte Ich stelle einen Auszug aus dem Script zum Thema Gauss-Quadratur : [attach]23865[/attach] [attach]23866[/attach] Zuerst macht man im Script eine Vorüberlegung, wie man zu der Gauss-Quadratur kommt. Nämlich, man stellt fest, dass die Maximalordnung einer interpolatorischen Quadratur 2n+2 zu n+1 Stützstellen ist und man möchte eine Quadratur mit dieser Eigenschaft konstruieren. Über orthogonale Polynome (die aus Monombasis via Gram-Schmidt gebaut wurden)kommt man endlich zur gesuchten Quadratur. Nun meine Frage : Im 1.Auszug hat man bereits die Gauss-Quadratur, denn für die Stützstellen werden die NS von (n+1)-Legendre-Polynom genommen. Da sind auch passende Quadraturgewichte angegeben Aber im 2.Auszug, wird die Vorüberlegung zusammengefasst in Form der Gauss-Quadratur-Definition. Diese Quadratur benutzt wie erwartet die NS von (n+1)-Legendre-Polynom, aber hat merkwürdigerweise nun andere Quadratur-Gewichte (quadriert). Wieso? Noch eine Frage : Wozu eigentlich die Angabe der Restglieddarstellung, wenn die Gauss-Quadratur alle Polynome bis Grad 2n+1 exakt intergriert, d.h ohne Restlied? Meine Ideen: . |
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| 07.04.2012, 16:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte Zum Restglied: Die Formeln sind ja nicht nur für Polynome da. Und für was steht das C^hoch? Genau: stetig "diffbar". Schon macht das Restglied doch wieder Sinn. Das ()² im Satz irritiert mich im Moment. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Quadratur Ebenso fehlt mir die Gewichtsfunktion, siehe [WS] Numerische Integration - Theorie |
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| 07.04.2012, 18:54 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Rede in diesem Auszug ist von der Gauss-Legendre-Quadratur. Die Gewichte dieser Quadratur sollen dann mit denen von Newton-Cotes übereinstimmen, also sollte diese Quadrierung von Gewichten einfach ein Fehler sein. |
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| 07.04.2012, 18:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das mit dem Restglied klar? 
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| 07.04.2012, 19:11 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ehrlich gesagt, nein... Das einzige was ich vorstellen kann, dass wenn das Polynom ist vom Grad grösser als 2n+1 bei n+1 Stützstellen, dann kann Gauss-Quadratur keine exakte Integration liefern, also ist die Restglieddarstellung schon sinnvoll. |
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| 07.04.2012, 19:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal ehrlich, ist es schwer eine Polynomfunktion zu integrieren? Braucht man da wirklich so komplizierte Näherungsformeln für? 
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| 07.04.2012, 19:32 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In Standartfällen evtl nicht sinnvoll, aber z.B im Fall, wenn die zu integrierende Funktion nur in Form von Wertepaaren gegeben ist, schon... |
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| 07.04.2012, 19:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Joa, aber auch da könnte man ja das IP integrieren. Man braucht die numerische Integration nun aber für Funktionen, die sich nicht so schön integrieren lassen. Daher mein Hinweis auf das C. Um Formeln bewerten zu können, greift man dann eben auf Polynome zurück, weil sie eben so schön integrierbar sind und wenn man die Idee einer Polynominterpolation betrachtet sollten die Quadraturformeln vielleicht wenigstens das IP exakt integrieren. Soviel zur Motivation hinter dem Ganzen.
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| 07.04.2012, 20:02 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte @Residium: Die Bedingung kommt im Wesentlichen daher, dass in (3.2.15) auf zurückgegriffen wird - dazu muss diese Ableitung aber existieren, da dieses Kriterium sonst logischerweise nicht anwendbar ist
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| 07.04.2012, 20:34 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte
Ok, aber ist es nicht im Wesentlichen, was ich davor meinte :
Die Restglieddarstellung ist nur für Funktionen vom Grad grösser 2n+2 dort angegeben, sonst ist die Ableitung Null und somit auch das Restglied Null, d.h Exaktintergration. |
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| 07.04.2012, 20:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte Schon, aber nochmal: Man will i.a. nicht Polynome, sondern andere Funktionen integrieren. Z.B. solche deren Stammfunktion man nicht von Hand bestimmen kann. Um eine Aussage über den Quadraturfehler machen zu können, muss man, wie Math bemerkte, hoffen, dass sie wenigstens hinreichend oft differenzierbar ist. |
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| 07.04.2012, 20:44 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte
Ist dir der Unterschied zwischen und klar? |
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| 07.04.2012, 20:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte
Back to the beginning? |
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| 07.04.2012, 20:47 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, Tigerbine, von dieser Motivation hab ich nicht gewusst. Heisst es also, dass eine nicht-Polynomfunktion nicht exakt mit interpolatorischen Quadraturen integriert werden kann? D.h. beispielsweise Gauss-Legendre-Quadratur liefert zwar optimale Integration, aber nicht exakte? |
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| 07.04.2012, 20:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gib bitte erst mal Rückmeldung zu dem "C". |
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| 07.04.2012, 20:56 | Residium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte
Ok, in der Tat, ich hab C mit P dummerweise verwechselt. Danke für den Hinweis. Heisst es also, dass eine nicht Polynom-Funktion, die weniger stetig-diff-bar ist, als 2n+2, exakt mit der Gauss-Quadratur integriert wird? Oder heisst es nur, dass keine Aussage bez. Restglied gibt? |
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| 07.04.2012, 21:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gauss-Quadratur und ihre Gewichte Die Formel taugt dann nicht zur Fehlerabschätzung. Sagt aber nichts darüber aus, ob die Quadratur nicht doch ein sehr gutes Ergebnis liefert. |
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